Алгебра множеств - что это такое, определение и понятие

Алгебра множеств - это область изучения математики и логики, сфокусированная на операциях, которые могут выполняться между множествами.

Алгебра множеств - это часть того, что мы называем теорией множеств.

Следует помнить, что набор - это группа элементов разного типа, таких как буквы, числа, символы, функции, геометрические фигуры и другие.

Установить операции

Основные операции с множествами следующие:

Союз: Объединение двух или более наборов содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы к одному из этих наборов. Обозначается буквой U.

A = (9,34,57,6,9)

B = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

Пересечение: Пересечение двух или более наборов включает элементы, общие для этих наборов. Обозначается перевернутой буквой U (∩). Пример:

A = (a, r, t, i, c, o)

B = (i, n, d, i, c, o)

A∩B = (i, c, o)

Разница: Разница одного набора относительно другого равна элементам первого набора минус элементы второго. Обозначается символом или -. С другой стороны, x ∈ a A B, если x ∈ A, но x ∉ B.Пример:

A = (21,34,56,17,7)

B = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

Дополнение: Дополнение набора включает все элементы, которые не содержатся в этом наборе (но принадлежат другому универсальному набору ссылок). Обозначается верхним индексом C. Пример:

A = (3,9,12,15,18)

U (Вселенная) = Все числа, кратные 3, которые являются целыми натуральными числами меньше 30.

К^C=(6,21,24,27)

Симметричная разница: Симметричное различие двух наборов включает все элементы, которые находятся в одном или другом, но не в обоих одновременно. То есть это объединение множеств за вычетом их пересечения. Его символ - Δ. Пример:

A = (17.81.99.131.65.32)

B = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

Декартово произведение: Это операция, результатом которой является новый набор, содержащий в качестве элементов упорядоченные пары или кортежи (упорядоченные серии) элементов, принадлежащих двум или более множествам. Это упорядоченные пары, если это два набора, и кортежи, если у нас более двух наборов. Пример:

A = (8,15,6,51)

В = (х, у)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

Законы алгебры множеств

Законы алгебры множеств следующие:

Идемпотентность: Объединение или пересечение набора с самим собой приводит к тому же набору:

XUX = X

X∩X = X

Коммутативный: Порядок факторов не влияет на результат при нахождении объединения или пересечения множеств:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

Распределительный: Объединение множества X с пересечением двух других множеств Y и Z равно пересечению объединения X и Y с объединением X и Z. То есть:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

Более того, то же самое верно, если мы изменим порядок операций:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

Ассоциативный: Члены операции объединения или пересечения нескольких множеств можно нечетко сгруппировать, всегда получая один и тот же результат:

СЮЙ (СЮЙ) = (СЮЙ) УЗ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

Закон Моргана: Дополнение объединения двух множеств равно пересечению их дополнений, а дополнение пересечения двух множеств равно объединению их дополнений.

(СЮЙ)^C= X^C∩Y^C

(X∩Y)^C= X^CУй^C

Закон разницы: Разница одного набора относительно другого равна пересечению первого с дополнением второго:

(X-Y) = X∩Y^C

Законы дополнения:
- Объединение множества с его дополнением не равно универсальному множеству. XUX^C= U
- Пересечение набора с его дополнением равно нулю или пустому набору. X∩X^C=∅
- Дополнение к дополнению множества X равно множеству X. (X^C)^C= X
- Дополнение универсального набора равно нулю или пустому набору. Икс^C=∅
- Дополнение пустого множества равно универсальному множеству. ∅^C= U