Неравенство Чебышева - это теорема, используемая в статистике, которая обеспечивает консервативную оценку (доверительный интервал) вероятности того, что случайная величина с конечной дисперсией будет на определенном расстоянии от своего математического ожидания или своего среднего значения.
Его формальное выражение выглядит следующим образом:
X = оценочная стоимость
µ = математическое ожидание оценочного значения
Ϭ = стандартное отклонение ожидаемого значения
k = количество стандартных отклонений
Исходя из этого общего выражения и развивая ту часть, которая остается в пределах абсолютного значения, мы получим следующее:
Если мы обратим внимание на предыдущее выражение, то можно увидеть, что часть слева не больше, чем доверительный интервал. Это дает нам как нижнюю, так и верхнюю границу оценочной стоимости. Следовательно, неравенство Чебышева говорит нам о минимальной вероятности того, что параметр генеральной совокупности находится в пределах определенного числа стандартных отклонений выше или ниже своего среднего значения. Или, другими словами, это дает нам вероятность того, что параметр совокупности находится в пределах этого доверительного интервала.
Неравенство Чебышева дает приблизительные оценки оценочной стоимости. Несмотря на некоторую степень неточности, это очень полезная теорема, поскольку ее можно применять к широкому кругу случайных величин независимо от их распределений. Единственное ограничение для использования этого неравенства состоит в том, что k должно быть больше 1 (k> 1).
Математическое неравенствоПример применения неравенства Чебышева
Допустим, мы управляем инвестиционным фондом. Портфель, которым мы управляем, имеет среднюю доходность 8,14% и стандартное отклонение 5,12%. Чтобы узнать, например, какой процент нашей прибыли составляет не менее 3 стандартных отклонений от нашей средней прибыльности, мы просто применим предыдущую формулу выражения 2.
к = 1,96
Подставляя значение k: 1- (1 / (1.96 2)) = 0,739 = 73,9%
Это означает, что 73,9% результатов находятся в доверительном интервале, расположенном на уровне 1,96 стандартного отклонения от среднего.
Давайте сделаем предыдущий пример для значений, отличных от k.
к = 2,46
k = 3
Подставляя значение k: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%
Подставляем значение k: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%
83,5% данных находятся на расстоянии 2,46 стандартных отклонений от среднего и 88,9% находятся в пределах 3 стандартных отклонений от среднего.
Используя неравенство Чебышева, легко вывести, что чем выше значение K (чем больше отклонение оценочного значения от его среднего), тем больше вероятность того, что случайная величина находится в ограниченном интервале.
ЭксцессЦентральная предельная теоремаНеравенство