Нормальное распределение - это теоретическая модель, способная удовлетворительно приблизить значение случайной величины к идеальной ситуации.
Другими словами, нормальное распределение соответствует случайной величине функции, которая зависит от среднего значения и стандартного отклонения. То есть функция и случайная величина будут иметь одинаковое представление, но с небольшими различиями.
Непрерывная случайная величина может принимать любое действительное число. Например, доходность акций, результаты тестов, IQ и стандартные ошибки являются непрерывными случайными величинами.
Дискретная случайная величина принимает натуральные значения. Например, количество студентов в университете.
Нормальное распределение является основой для других распределений, таких как t-распределение Стьюдента, распределение хи-квадрат, F-распределение Фишера и другие распределения.
Формула нормального распределения
Для случайной величины X мы говорим, что частота ее наблюдений может быть удовлетворительно приближена к нормальному распределению, так что:
Если параметрами распределения являются среднее или центральное значение и стандартное отклонение:
Другими словами, мы говорим, что частота случайной величины X может быть представлена нормальным распределением.
Представление
Функция плотности вероятности случайной величины, которая следует нормальному распределению.
Характеристики
- Это симметричное распределение. Значения среднего, медианы и моды совпадают. Математически,
Среднее = Медиана = Режим
- Унимодальное распространение. Значения, которые встречаются чаще или с большей вероятностью появляются, находятся около среднего. Другими словами, когда мы удаляемся от среднего, вероятность появления значений и их частота уменьшается.
Что нам нужно для представления нормального распределения?
- Случайная величина.
- Рассчитайте среднее значение.
- Рассчитайте стандартное отклонение.
- Решите, какую функцию мы хотим представить: функцию плотности вероятности или функцию распределения.
Теоретический пример
Мы предполагаем, что хотим знать, могут ли результаты теста удовлетворительно аппроксимировать нормальное распределение.
Мы знаем, что в этом тесте участвуют 476 студентов, и что результаты могут варьироваться от 0 до 10. Мы вычисляем среднее значение и стандартное отклонение из наблюдений (результатов теста).
Итак, мы определяем случайную переменную X как результаты теста, которые зависят от каждого отдельного результата. Математически,
Баллы каждого ученика заносятся в таблицу. Таким образом, мы получим общее представление о результатах и их частоте.
| Полученные результаты | Частота |
| 0 | 20 |
| 1 | 31 |
| 2 | 44 |
| 3 | 56 |
| 4 | 64 |
| 5 | 66 |
| 6 | 62 |
| 7 | 51 |
| 8 | 39 |
| 9 | 26 |
| 10 | 16 |
| ОБЩЕЕ | 476 |
После того, как таблица составлена, мы представляем результаты обследования и частоты. Если график выглядит как предыдущее изображение и соответствует свойствам, то переменная результатов теста может быть удовлетворительно аппроксимирована нормальным распределением среднего значения 4,8 и стандартного отклонения 3,09.
Могут ли результаты теста приблизиться к нормальному распределению?
Причины считать, что переменная результатов теста подчиняется нормальному распределению:
- Симметричное распределение. То есть справа и слева от центрального значения одинаковое количество наблюдений. Кроме того, среднее значение, медиана и мода имеют одинаковое значение.
Среднее значение = Медиана = Режим = 5
- Наблюдения с наибольшей частотой или вероятностью находятся около центрального значения. Другими словами, наблюдения с меньшей частотой или вероятностью далеки от центрального значения.
Нормальное распределение описывает случайную величину приближением, которое дает стандартные ошибки (столбцы над каждым столбцом). Эти ошибки представляют собой разницу между фактическими наблюдениями (результатами) и функцией плотности (нормальное распределение).
