Разложение Холецкого - это особый вид разложения матриц LU, от английского Lower-Upper, который состоит из разложения матрицы на произведение двух или более матриц.
Другими словами, разложение Холецкого состоит в приравнивании матрицы, содержащей такое же количество строк и столбцов (квадратная матрица), к матрице с нулями над главной диагональю, умноженной на ее матрицу, транспонированную с нулями под главной диагональю.
LU-разложение, в отличие от Холецкого, может применяться к различным типам квадратных матриц.
Характеристики разложения Холецкого
Разложение Холецкого состоит из:
- Верхняя треугольная квадратная матрица: Квадратная матрица, имеющая только нули под главной диагональю.
- Нижняя треугольная квадратная матрица: Матрица, которая имеет только нули над главной диагональю.
Математически, если существует положительно определенная симметричная матрица, А ТАКЖЕ, то существует нижнетреугольная симметричная матрица, K, того же размера, что и А ТАКЖЕ, в результате чего:
Вышеупомянутая матрица выглядит как матрица Холецкого для E. Эта матрица действует как квадратный корень из матрицы E. Мы знаем, что область определения квадратного корня:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Что определяется всеми неотрицательными действительными числами. Так же, как и квадратный корень, матрица Холецкого будет существовать только в том случае, если матрица является полуположительно определенной. Матрица является полуположительной, если у главных миноров есть положительный или нулевой определитель.
Разложение Холецкого А ТАКЖЕ диагональная матрица такая, что:
Мы видим, что матрицы квадратные и содержат указанные характеристики; треугольник нулей над главной диагональю в первой матрице и треугольник нулей под главной диагональю в преобразованной матрице.
Приложения разложения Холецкого
В финансах он используется для преобразования реализаций независимых нормальных переменных в нормальные переменные, коррелированные в соответствии с корреляционной матрицей. А ТАКЖЕ.
Если N - вектор независимых нормалей (0,1), то Ñ - вектор нормалей (0,1), коррелированных согласно А ТАКЖЕ.
Пример разложения Холецкого
Это простейший пример разложения Холецкого, который мы можем найти, поскольку матрицы должны быть квадратными, в данном случае матрица (2 × 2). Два ряда по два столбца. Кроме того, он соответствует характеристикам наличия нулей над и под главной диагональю. Эта матрица является полуположительно определенной, потому что главные миноры имеют положительный определитель. Мы определяем:
Решение для: c2 = 4; b · c = -2; к2+ b2 = 5; у нас есть четыре возможных матрицы Холецкого:
Наконец, мы вычисляем, чтобы найти (a, b, c). Как только мы их найдем, у нас будут матрицы Холецкого. Расчет выглядит следующим образом:
