Умножение матриц состоит из линейного комбинирования двух или более матриц путем добавления их элементов в зависимости от их расположения в исходной матрице с соблюдением порядка факторов.
Другими словами, умножение двух матриц заключается в объединении матриц в единую матрицу путем умножения и добавления элементов строк и столбцов исходных матриц с учетом порядка факторов.
Рекомендуемые статьи: операции с матрицами, квадратная матрица.
Умножение матриц
Учитывая две матрицы Z Y Y из n строк и m столбцов:
Характеристики
- Размерность матрицы результатов - это комбинация размеров матриц. Другими словами, размерностью результирующей матрицы будут столбцы первой матрицы и строки второй матрицы.
В этом случае мы обнаружим, что Zп (строки Z) равно Yм(столбцы Y), чтобы их можно было умножить. Итак, если они равны, матрица результатов будет:
Примеры
- Умножим матрицы два на два.
Мы умножаем матрицы два на два, чтобы сохранить размеры исходных матриц и облегчить процесс.
- Умножение матриц некоммутативно.
Схема коммутативной собственности
Свойство коммутативности представляет собой известную фразу: порядок факторов не влияет на результат.
Мы находим это свойство в обычном сложении и умножении, то есть когда мы складываем и умножаем любой объект, не являющийся матрицей.
Учитывая приведенную выше схему, свойство коммутативности говорит нам, что если мы сначала умножим синее солнце, а затем желтое солнце, мы получим тот же результат (зеленое солнце), как если бы мы сначала умножили желтое солнце, а затем синее солнце.
Итак, если при умножении матриц не соблюдается коммутативность, это означает, что порядок множителей да влияет на результат. Другими словами, мы не получим зеленого солнца, если изменим порядок желтого и синего солнц.
Процесс
Мы можем умножить предыдущие матрицы, если количество строк в матрице Z равно количеству столбцов в матрице Y. А именно, Zп = Yм.
Как только будет определено, что мы можем умножить матрицы, мы умножаем элементы каждой строки на каждый столбец и складываем их таким образом, чтобы только одно число осталось в точке, где совпадают предыдущие синие овалы.
Сначала мы находим, где совпадают синие овалы, а затем суммируем умножения элементов.
- Для первого элемента результирующей матрицы мы видим, что овалы совпадают, где элемент z равен11.
- Для последнего элемента результирующей матрицы мы видим, что овалы совпадают в элементе инм.
Теоретический пример
Учитывая две квадратные матрицы D Y А ТАКЖЕ,
Умножьте предыдущие матрицы.
Начнем с умножения первой строки матрицы D с первым столбцом матрицы А ТАКЖЕ. Затем мы делаем то же самое, но сохраняем строку или столбец каждой матрицы в зависимости от того, хотим ли мы умножить одни элементы или другие. Повторяем процедуру, пока не заполним все пробелы.
Упражнение
Докажите, что коммутативность не выполняется в произведении матриц.