Экспоненциальная функция - это основа непрерывного начисления процентов, которая является результатом бесконечно увеличивающейся (когда p стремится к бесконечности) частоты начисления процентов при начислении сложных процентов.
Другими словами, экспоненциальная функция представляет собой сложную формулу, в которой периоды времени между расчетами процентов бесконечно малы (очень малы).
Формула экспоненциальной функции:
Непрерывное компаундирование можно выразить как
Разумное сходство между непрерывной капитализацией и экспоненциальной функцией, верно?
Определим переменные непрерывной капитализации:
- Cт + 1: капитал в момент времени t + 1 (позже).
- Cт: капитал в момент времени t (текущий).
- ят: процентная ставка в момент времени t.
- p: частота начисления сложных процентов или периодичность.
- т: время.
Приложения
В финансах мы часто находим экспоненциальную функцию в формуле непрерывной капитализации будущего дохода и в некоторых эконометрических регрессиях.
В экономике это не так популярно, потому что большинство микроэкономических и макроэкономических моделей предполагают убывающую предельную отдачу от факторов производства. Следовательно, они предполагают, что факторы следуют логарифмической доходности и, следовательно, возвращаются вопреки экспоненциальной функции.
Пример экспоненциальной функции
Мы предполагаем, что мы американский инвестор, который хочет построить горнолыжный склон в Пико Боливар, Венесуэла. Первоначальная инвестиция составляет 100 миллионов долларов при годовой процентной ставке 100%. Этот инвестор обладает достаточными переговорными способностями, чтобы определять периодичность начисления процентов по его инвестициям.
Какую альтернативу предпочтет американский инвестор?
Чтобы ответить на вопрос, нам нужно будет рассчитать капитал вовремя. т + 1 (Cт + 1), который получит инвестор.
Доступная информация:
Cт: 100 млн долл. США
ят: 100%
т: 1 (годовой)
Cт + 1: ?
| Альтернатива | К | B | C | D | А ТАКЖЕ | F |
| Периодичность | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Подставляем имеющуюся у нас информацию в две формулы (функция exp. И непрерывное использование заглавных букв)
Мы обрабатываем данные, избегая ММ.
Делим (Cт + 1) на 100 в экспоненциальной функции, чтобы исключить влияние капитала. Таким образом мы перемещаем запятую на два места вперед. Следовательно, этот эффект виден в следующих столбцах результатов.
Полученные результаты:
| Формула | Непрерывное компаундирование | Экспоненциальная функция |
| Периодичность (p) или (n) | Cт + 1 | Cт + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Когда n или p стремятся к бесконечности, в данном случае от 10 000 000, мы видим, что значения сходятся на определенном числе. Для непрерывного сложения это 271,8281, а для экспоненциальной функции - 2,718281. Две серии сходятся на а также.
Ответ на упражнение разрешен
Итак, какую альтернативу выберет американский инвестор, если из ряда периодичностей капитал в момент t + 1 (Cт + 1) глохнет при определенной стоимости?
- Если этот инвестор рассматривает капитал как дискретную переменную, то он выберет альтернативу D. Поскольку из альтернативы C капитал в момент t + 1 (Cт + 1) сходится к 271 млн долларов.
- Если этот инвестор рассматривает капитал как непрерывную переменную, то он выберет альтернативу с большей периодичностью. В этом случае альтернатива F. Даже если она в конечном итоге сходится по значению, инвестор принимает во внимание все десятичные дроби.
Эта сходимость означает, что капитал в момент t + 1 (Cт + 1), рассчитываемая с использованием формулы непрерывного начисления сложных процентов или экспоненциальной функции, следует за убывающей предельной доходностью. Другими словами, (Cт + 1) можно выразить в виде логарифмической функции.
Схематично:
- Периодичность = экспоненциальная функция.
- Капитал в т + 1 (Cт + 1) = логарифмическая функция.
Графическое представление
На графике вы можете увидеть, как экспоненциальная функция, которая является бесконечно непрерывной, растет намного быстрее, чем ограниченная непрерывная капитализация. Когда мы говорим о непрерывной капитализации, мы имеем в виду своего рода сложную капитализацию, но с большей периодичностью, поскольку на практике невозможно бесконечно капитализировать проценты. Я имею в виду, что мы не можем использовать каждую секунду.