Фрактальная геометрия - это раздел геометрии, изучающий фракталы. Это сложные объекты, структура которых повторяется, когда мы наблюдаем их в разных масштабах.
Другими словами, фракталы состоят из частей, похожих на целое, и представляют собой неправильные структуры. Давайте представим головку брокколи, которая, когда мы разрезаем ее, делится на несколько более мелких брокколи.
Фрактальная геометрия возникла из-за необходимости лучшего приближения к реальности, поскольку геометрия плоскости и геометрия космоса изучают фигуры и тела, которые мы вряд ли находим в природе.
Учтите, что горы - это не конусы, и что даже пирамиды Египта, если мы внимательно посмотрим на них, будут иметь определенные неровности на своей поверхности. Эти недостатки называются качеством шероховатости, и это характеристика, которая добавляет фрактальную геометрию к объектам, у которых больше нет только периметра, площади и объема.
Происхождение фрактальной геометрии
Начало фрактальной геометрии положил математик Бенуа Мандельброт, а также его величайшее литературное произведение: «Фрактальная геометрия природы», опубликованное в 1982 году.
Слово фрактал происходит от латинского слова «фрактус», что означает сломанный или сломанный, и было придумано Мандельбротом в 1975 году.
Стоит упомянуть, что, хотя Мандельброт формализовал изучение фрактальной экономики, он не был первым, кто заметил существование фракталов в природе. Например, если мы посмотрим на работы известного японского художника Кацусика Хокусая, мы увидим, что эта концепция применяется (и сам Мандельброт упомянул об этом в интервью). Например, на картине «Большая волна» мы наблюдаем, как внутри волны есть другие более мелкие волны.
Характеристики фрактала
Основные характеристики фрактала:
- Самоподобие: Это относится к тому, что мы уже упоминали ранее. Если мы посмотрим на часть фрактала в большем масштабе (более внимательно), она будет выглядеть так же, как и весь объект. То есть часть похожа на целое, хотя это не всегда так. Например, представим себе ромб, состоящий из множества маленьких ромбов. Хотя размер этих ромбов немного варьируется, это будет фрактал.
- Фрактальная размерность не равна топологической размерности: Чтобы объяснить топологическое измерение, давайте представим, что у нас есть плоскость, разделенная на сетки, как сетка. Итак, я рисую линию, проходящую через 2 сетки. Если бы я разделил все сетки на две части, линия прошла бы через 4 сетки. То есть он умножается на 2, что равно коэффициенту уменьшения (2), увеличенному до 1 (2 = 21), который стоит избыточности - это количество измерений линии. Теперь, если у нас есть многоугольник, двумерная фигура, происходит нечто подобное. Например, если у нас есть квадрат, охватывающий четыре сетки, и мы снова применяем коэффициент уменьшения 2, квадрат будет охватывать 16 сеток. То есть количество сеток (4) умножается на 4, что дает 2 возведение в 2 (2 = 22), показатель степени - это квадрат размерностей. Однако все вышесказанное неверно для фракталов.
- Они не различимы в любой точке: С математической точки зрения это означает, что производная представленной функции не может быть вычислена. Визуально это означает, что график не является непрерывным, но имеет пики, поэтому сделать вывод невозможно.
Применение фрактальной геометрии
Фрактальная геометрия может применяться в различных областях. Например, в 1940 году Льюис Фрай Ричардсон заметил, что различные границы между страной и страной меняются в зависимости от шкалы измерения. То есть, если мы измеряем географический контур, результат будет отличаться в зависимости от длины используемой линейки. Это послужило ссылкой для Мандельброта в его статье 1967 года, опубликованной в журнале Science: «Какова длина побережья Великобритании?»
Это можно объяснить, если принять во внимание, что географические территории фракталы и, когда мы видим их в большем масштабе, мы видим больше нарушений.
Еще одно применение фрактальной геометрии - анализ сейсмических движений и движений на фондовом рынке.
Кроме того, мы должны признать, что фракталы служили источником вдохновения для таких художников, как вышеупомянутый Хокуса, и у нас также есть случай с Джексоном Поллоком.