Пересечение событий - это операция, результат которой состоит из неповторяющихся и общих событий двух или более наборов.
Проще говоря, учитывая два события A и B, мы скажем, что их пересечение состоит из элементарных событий, которые у них есть общие. Мы также могли бы указать, что пересечение событий подразумевает ответ на вопрос: какова вероятность того, что A и B произойдут одновременно?
Символ, которым обозначается пересечение, следующий: ∩. Это похоже на перевернутую букву U. Таким образом, если мы хотим обозначить пересечение A и B, мы бы положили: A ∩ B
Обобщение пересечения событий
В объяснении до сих пор мы видели пересечение двух событий. Например, A ∩ B или B ∩ A. Что произойдет, если у нас будет более двух событий?
Обобщение пересечения событий дает нам решение для обозначения пересечения, например, 50 событий. Предположим, у нас есть 7 событий, мы будем использовать следующие обозначения:
Вместо того, чтобы называть каждое событие A, B или любой буквой, мы будем называть Yes. S - это событие, а индекс i указывает номер. Таким образом, в примере из 7 событий у нас будет следующая формула:
Что мы сделали, так это разработали обозначения. Просто посмотреть, что это значит, но только поставив то, что есть перед равным, вы поймете, что это развитие подразумевает. В вышеизложенном интуитивно мы бы сказали: «Выход S1, выход S2, выход S3, выход S4, и выход S5, и выход S6, и выход S7». То есть они будут общими элементами, которые есть у 7 событий.
Пересечение непересекающихся и не пересекающихся событий
Пересечения непересекающихся событий просто не может быть. Очевидно, что если два события не пересекаются, мы будем говорить, что у них нет общих элементов. И если у них нет общих элементов, результатом будет пустой набор или невозможное событие.
В случае неразрывных событий результатом пересечения будут общие элементы. Давайте посмотрим на пример, почему не может существовать пересечение непересекающихся событий:
Предположим, у нас есть примерное пространство, состоящее из (1,2,3,4,5,6), где:
A: Пусть выпадет 1 или 2 (1,2)
B: получается больше или равно 5 (5,6)
A ∩ B = Ø
Нет пересечения. Это невозможное событие. Это происходит потому, что события не пересекаются. То есть у них нет общих элементов.
Со своей стороны, пересечение неделимых событий рассчитывается как:
Свойства пересечения событий
Объединение событий - это разновидность математической операции. Некоторые типы операций - это также сложение, вычитание, умножение. У каждого из них есть ряд свойств. Например, мы знаем, что результат добавления 3 + 4 точно такой же, как результат добавления 4 +3. На данный момент объединение событий имеет несколько свойств, которые стоит знать:
- Коммутативный: Это означает, что порядок, в котором это написано, не влияет на результат. Например:
- А ∩ В = В ∩ А
- С ∩ D = D ∩ C
- Ассоциативный: Предполагая, что есть три события, нам все равно, какое из них сделать первым, а какое - следующим. Например:
- (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- (A ∩ C) U B = (A ∩ B) ∩ C
- Распределительный: Когда мы включаем операцию пересечения, свойство распределения сохраняется. Взгляните на следующий пример:
- A ∩ (B U C) = (A U B) U (A U C)
Глядя на эти свойства, мы легко можем увидеть, что они точно такие же, как и в случае объединения событий.
Пример пересечения событий
Вот простой пример объединения двух событий A и B. Предположим, что подбрасывается идеальный кубик. Кубик с шестью гранями, пронумерованными от 1 до 6. Таким образом, события определены ниже:
К: Что оно больше 2. (3,4,5,6) с вероятностью 4/6 => P (A) = 0,67
C: Пусть выходят пять. (5) по вероятности 1/6 => P (C) = 0,17
Какова вероятность A ∩ C?
P (A ∩ C) = P (A) + P (C) - P (A U C)
Поскольку P (A) и P (C) уже есть, мы собираемся вычислить P (A U C)
A U C = (3,4,5,6) в вероятностях P (A U C) = 4/6 = 0,67
Конечный результат:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,67 = 0,17 (17%)
Вероятность того, что выпадет больше 2 и при этом выпадет пять, составляет 17%.