Под комбинаторикой без повторения понимаются различные множества, которые могут быть образованы с помощью «n» элементов, выбранных из x в x. Каждый набор должен отличаться от предыдущего хотя бы одним из своих элементов (порядок не имеет значения), и они не могут повторяться.
Комбинаторика без повторений широко используется в статистике и математике. Это подходит для многих реальных жизненных ситуаций, и его применение довольно просто.
Возьмем, к примеру, студента, который сдает экзамен из 4 вопросов. Из 4 вопросов он должен выбрать 3. Сколько различных комбинаций ученик мог бы составить? Если немного поразмыслить, мы увидим (без фактического применения формулы), что ученик может выбрать, как ответить на 3 вопроса четырьмя разными способами.
- Комплект / вариант 1: Ответить на вопросы 1,2,3.
- Комплект / вариант 2: Ответить на вопросы 1,2,4.
- Комплект / вариант 3: Ответить на вопросы 1,3,4.
- Комплект / вариант 4: Ответить на вопросы 2,3,4.
Как мы видим, ученик может сформировать 4 набора (n) из 3 элементов (x). Следовательно, комбинаторика без повторения говорит нам, как сформировать или сгруппировать конечное количество данных / наблюдений в группы определенного количества без возможности повторения каких-либо элементов в каждой группе. Это основное различие между комбинаторным с повторением (элементы в каждой группе могут повторяться) и комбинаторным без повторения (ни один элемент не может повторяться в каждой группе).
Чтобы подчеркнуть в этом примере, что это случай комбинаторики без повторений, поскольку ученик не может задать любой из вопросов более одного раза. Поэтому элементы наборов не могут повторяться.
В предыдущем случае, учитывая, что общее количество элементов невелико, а количество набора велико, количество вариантов невелико и может быть легко выведено без применения формулы. В случае прямого применения формулы числитель будет 24 (4 * 3 * 2 * 1), а знаменатель будет 6 (3 * 2 * 1 * 1), с которыми мы пришли бы к вычислению таким же образом. не думая о том, как сгруппировать эти четыре вопроса в наборы по три.
Как рассчитать комбинаторику без повторений?
Формула комбинаторного без повторения:
Где:
- п = Всего наблюдений
- Икс = Количество выбранных элементов
Пример комбинаторный без повторения
Представим себе военный взвод из 12 солдат. Капитан армии хочет сформировать группы из 2 солдат, чтобы проникнуть в тыл врага в разных точках, сколько разных групп он может сформировать?
Чтобы решить проблему, нам сначала нужно определить общее количество элементов. В данном случае всего 12 солдат, значит, у нас уже есть n. Поскольку капитану нужны группы по 2 человека, мы уже знаем, каково наше x. Зная это, мы могли бы подставить в формулу и получить количество комбинаций групп равное 2.
- п = 12
- Икс = 2
При замене:
Применяя факториал к знаменателю, мы получим 12 * 11 * 10 *… * 1 = 479,001,600. В знаменателе имеем 2 * 1 * 10 * 9 * 8… * 1 = 7 257 600. Наше комбинаторное число = 479 001 600/7 257 600 = 66.
Как видим, капитан может сформировать 66 разных пар солдат из 12, которые у него есть.