Центральная предельная теорема (TCL) - это статистическая теория, которая утверждает, что при достаточно большой случайной выборке совокупности распределение выборочных средних будет следовать нормальному распределению.
Кроме того, TCL утверждает, что по мере увеличения размера выборки среднее значение выборки будет приближаться к среднему значению генеральной совокупности. Следовательно, с помощью TCL мы можем определить распределение выборочного среднего для определенной совокупности с известной дисперсией. Таким образом, распределение будет следовать нормальному распределению, если размер выборки достаточно велик.
Основные свойства центральной предельной теоремы
Центральная предельная теорема обладает рядом очень полезных свойств в статистической и вероятностной области. Основные из них:
- Если размер выборки достаточно велик, распределение выборочных средних будет примерно соответствовать нормальному распределению. TCL считает выборку большой, если ее размер больше 30. Следовательно, если выборка больше 30, среднее значение выборки будет иметь функцию распределения, близкую к нормальной. И это верно вне зависимости от формы дистрибутива, с которым мы работаем.
- Среднее значение генеральной совокупности и среднее значение выборки будут одинаковыми. То есть среднее значение распределения всех выборочных средних будет равно среднему значению для всей генеральной совокупности.
- Дисперсия распределения выборочных средних будет σ² / n. Это дисперсия генеральной совокупности, деленная на размер выборки.
То, что распределение выборочных средств похоже на нормальное, чрезвычайно полезно. Потому что нормальное распределение очень легко применить для проверки гипотез и построения доверительных интервалов. В статистике очень важно, чтобы распределение было нормальным, поскольку многие статистические данные требуют этого типа распределения. Кроме того, TCL позволит нам сделать вывод о среднем по генеральной совокупности через выборочное среднее. И это очень полезно, когда из-за нехватки средств мы не можем собрать данные по всей совокупности.
Пример центральной предельной теоремы
Давайте представим, что мы хотим проанализировать историческую среднюю доходность индекса S&P 500, в который, как мы знаем, входят около 500 компаний. Но у нас недостаточно информации для анализа всех 500 компаний в индексе. В этом случае средняя прибыльность S&P 500 будет средней по населению.
Теперь, следуя TCL, мы можем взять выборку из этих 500 компаний для проведения анализа. Единственное ограничение, которое у нас есть, это то, что в выборке должно быть более 30 компаний для выполнения теоремы. Итак, представим, что мы случайным образом выбираем из индекса 50 компаний и повторяем этот процесс несколько раз. Шаги, которые нужно выполнить в примере, будут следующими:
- Мы выбираем выборку из примерно 50 компаний и получаем среднюю рентабельность всей выборки.
- Мы постоянно выбираем 50 компаний и получаем среднюю рентабельность.
- Распределение всех средних доходностей всех выбранных выборок будет приближаться к нормальному распределению.
- Средняя доходность всех выбранных выборок будет приблизительно равна средней доходности общего индекса. Как показывает Центральная предельная теорема.
Следовательно, исходя из средней доходности выборки, мы можем приблизиться к средней доходности индекса.