Свойства оценщиков

Свойства оценщиков - это качества, которыми они могут обладать и которые служат для выбора тех, которые более способны дать хорошие результаты.

Чтобы начать с определения концепции оценки, мы скажем, что для любой случайной выборки (x₁, Икс₂, Икс₃,…, ИКС_п) оценщик представляет совокупность, которая зависит от параметра φ, который нам неизвестен.

Этот параметр, который мы обозначаем греческой буквой fi (φ), может быть, например, средним значением любой случайной величины.

Математически однопараметрическая оценка Q зависит от случайных наблюдений в выборке (x₁, Икс₂, Икс₃,…, ИКС_п) и известная функция (h) образца. Оценщик (Q) будет случайной величиной, потому что она зависит от выборки, содержащей случайные величины.

Q = h (x₁, Икс₂, Икс₃,…, ИКС_п)

Беспристрастность оценщика

Q-оценка φ является несмещенной оценкой, если E (Q) = φ для всех возможных значений φ. Мы определяем E (Q) как ожидаемое значение или ожидание оценки Q.

В случае смещенных оценок это смещение будет представлено как:

Смещение (Q) = E (Q) - φ

Мы можем видеть, что смещение - это разница между ожидаемым значением оценки E (Q) и истинным значением параметра совокупности φ.

Точечная оценка

Эффективность оценщика

Да Q₁ и Q₂ являются двумя несмещенными оценками φ, их связь с Q будет эффективной₂ когда Var (Q₁) ≤ Var (Q₂) для любого значения φ, пока статистическая выборка φ строго больше 1, n> 1. Где Var - дисперсия, а n - размер выборки.

Интуитивно сформулировано, предполагая, что у нас есть две оценки с несмещенным свойством, мы можем сказать, что одна (Q₁) более эффективен, чем другой (Q₂), если вариативность результатов одного (Q₁) меньше, чем у другого (Q₂). Логично думать, что одна вещь, которая меняется больше, чем другая, менее «точна».

Следовательно, мы можем использовать этот критерий для выбора оценщиков только в том случае, если они несмещены. В предыдущем утверждении, когда мы определяли эффективность, мы уже предполагали, что оценки должны быть беспристрастными.

Для сравнения оценок, которые не обязательно являются несмещенными, то есть может существовать систематическая ошибка, рекомендуется вычислить среднеквадратическую ошибку (MSE) оценок.

Если Q является оценкой φ, то ECM Q определяется как:

Среднеквадратичная ошибка (MSE) вычисляет среднее расстояние, которое существует между ожидаемым значением выборочного оценщика Q и оценщиком совокупности. Квадратичная форма ECM обусловлена ​​тем, что ошибки могут быть по умолчанию отрицательными или избыточными положительными по отношению к ожидаемому значению. Таким образом, ECM всегда будет вычислять положительные значения.

ECM зависит от дисперсии и смещения (если есть), что позволяет нам сравнивать две оценки, когда одна или обе смещены. Тот, у которого NDE больше, будет считаться менее точным (имеет больше ошибок) и, следовательно, менее эффективным.

Непротиворечивость оценщика

Согласованность - это асимптотическое свойство. Это свойство похоже на свойство эффективности с той разницей, что согласованность измеряет вероятное расстояние между значением оценки и истинным значением параметра совокупности при неограниченном увеличении размера выборки. Это неопределенное увеличение размера выборки является основой асимптотического свойства.

Существует минимальный размер выборки для проведения асимптотического анализа (проверяйте согласованность оценки по мере увеличения выборки). Аппроксимации большой выборки хорошо работают для выборок примерно из 20 наблюдений (n = 20). Другими словами, мы хотим увидеть, как ведет себя оценщик, когда мы увеличиваем выборку, но это увеличение стремится к бесконечности. Учитывая это, мы делаем приближение и из 20 наблюдений в выборке (n ≥ 20) асимптотический анализ подходит.

Математически определим Q₁n как оценка φ из любой случайной выборки (x₁, Икс₂, Икс₃,…, ИКС_п) размера (п). Итак, можно сказать, что Q_п является согласованной оценкой φ, если:

Это говорит нам о том, что различия между оценкой и ее значением совокупности | Q_п - φ |, они должны быть больше нуля. Для этого мы выражаем его в абсолютном значении. Вероятность этой разницы стремится к 0 (становится все меньше и меньше), когда размер выборки (п) стремится к бесконечности (становится все больше и больше).

Другими словами, вероятность того, что Q_п перемещается слишком далеко от φ при увеличении размера выборки.