Ковариация - что это такое, определение и понятие

Ковариация - это величина, которая отражает то, насколько две случайные величины совместно изменяются относительно своих средних значений.

Это позволяет нам узнать, как ведет себя переменная, в зависимости от того, что делает другая переменная. То есть, когда X возрастает, как Y себя ведет? Таким образом, ковариация может принимать следующие значения:

Ковариация (X, Y) меньше нуля, когда «X» увеличивается, а «Y» уменьшается. Есть отрицательная связь.

Ковариация (X, Y) больше нуля, когда «X» возрастает, а «Y» возрастает. Есть положительные отношения.

Ковариация (X, Y) равна нулю, когда нет связи между переменными «X» и «Y».

Расчет ковариации

Формула ковариации выражается следующим образом:

Где y с ударением - это среднее значение переменной Y, а x с ударением - это среднее значение переменной X. «i» - это положение наблюдения, а «n» - общее количество наблюдений.

В качестве альтернативы, когда абсолютные частоты не являются унитарными (то есть пары i, j повторяются хотя бы один раз), применима формула следующая:

Свойства ковариации

При работе с ним необходимо учитывать свойства, которыми он обладает и которые выводятся из определения ковариации:

• Cov (X, b) = 0, где b в данном случае постоянная.
• Cov (X, X) = Var (X), то есть ковариация переменной и сама по себе равна дисперсии переменной.
• Cov (X, Y) = Cov (Y, X) ковариация одинакова, независимо от того, в каком порядке мы их поместили.
• Cov (bX, cY) = c · b · Cov (X, Y), где b и c - две константы. Ковариация двух переменных, умноженная на любые две константы, равна ковариации двух переменных, умноженной на умножение констант.
• Cov (b + X, c + Y) = Cov (X, Y) добавление любых двух констант к каждой переменной не влияет на ковариацию.
• Cov (X, Y) = E (X · Y) - E (X) · E (Y) или что то же самое, ковариация равна математическому ожиданию произведения двух переменных за вычетом произведения двух ожиданий по отдельности.

Расширение предыдущих свойств в случае, если две переменные независимы. То есть никакой статистической связи у них нет, правда, что:

E (X · Y) = E (X) · E (Y)

Другими словами, ожидание произведения двух переменных равно произведению двух отдельных ожиданий указанных переменных.

Пример ковариации

Предположим, у нас есть следующие данные для X и Y.

Как мы интерпретируем этот результат?

Эта 4 говорит нам, будучи больше нуля, что эти две переменные имеют положительную взаимосвязь. Чтобы узнать скорректированную взаимосвязь между двумя переменными, мы должны рассчитать линейную корреляцию. Две ковариации разных переменных несопоставимы, поскольку значение ковариации - это абсолютное значение, которое зависит от единицы измерения переменных.