Тетраэдр - это многогранник с четырьмя гранями, шестью ребрами и четырьмя вершинами. Это трехмерная фигура, образованная несколькими многоугольниками, которые в данном случае являются треугольниками..
Тетраэдр характеризуется тем, что он самый простой из многогранников и единственный, у которого меньше пяти сторон.
Стоит упомянуть, что тетраэдр - это пирамида с треугольным основанием.
Элементы тетраэдра
Элементами тетраэдра, которые указывают на рисунок ниже, являются:
- Лица: Это стороны тетраэдра, которые, как мы уже упоминали, являются треугольниками (ABC, ADC, ADB и BDC.
- Края: Это объединение двух граней: AB, AC, AD, BC, CD и DB.
- Вершины: Это те точки, где встречаются края: A, B, C и D.
- Двугранный угол: Он образован объединением двух граней.
- Угол многогранника: Он состоит из сторон, совпадающих в одной вершине.
Площадь и объем тетраэдра
Чтобы узнать характеристики тетраэдра, мы можем вычислить:
- Область: Необходимо добавить площадь четырех треугольников, составляющих многогранник. В этом смысле мы должны помнить, что площадь треугольника рассчитывается путем умножения основания на высоту и деления на 2 (A = bxh / 2).
- Объем: Он будет рассчитан по следующей формуле
В формуле b - это любая грань многогранника, а h - высота или отрезок, соединяющий b с противоположной вершиной. Кроме того, высота перпендикулярна основанию (они образуют прямой угол или угол 90º).
Правильный тетраэдр
Когда все треугольники, составляющие тетраэдр, являются равносторонними треугольниками, идентичными друг другу, мы сталкиваемся с правильным тетраэдром. То есть это был бы случай правильного многогранника, у которого все грани одинаковые, и каждый из них также является правильным многоугольником.
На этом этапе мы должны помнить, что правильный многоугольник - это такой многоугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину, а также их внутренние углы равны.
Напомним, что площадь (A) равностороннего треугольника может быть вычислена с использованием формулы Герона, где a, b и c - размеры сторон, а s - полупериметр, который представляет собой периметр (P) между двумя.
Тогда да:
Р = а + Ь + с = а + а + а = 3а
Мы должны:
Затем, поскольку имеется четыре треугольника, мы умножаем площадь каждого из них на 4, чтобы найти площадь тетраэдра (AT):
С другой стороны, если мы хотим вычислить объем, мы должны найти высоту многогранника. Для этого мы будем руководствоваться следующим изображением:
Сначала мы вычислим высоту (h) основания (треугольник ABC в этом примере), которое является отрезком EB. Угол X составляет 90º, поэтому должна выполняться теорема Пифагора, а гипотенуза (BA), которая измеряет a (длину всех ребер в этом тетраэдре), равна сумме квадратов каждого катета. Одна из ножек - EA, это середина отрезка AC (E разрезает сторону на две равные части) и имеет размер a / 2. Также вторая ножка - это высота основания (h или EB).
Тогда по свойству правильного тетраэдра, где F является центром треугольника, EF будет составлять одну треть отрезка EB, то есть одну треть h.
На следующем шаге, чтобы найти высоту тетраэдра (DF), мы можем снова применить теорему Пифагора, потому что, поскольку высота перпендикулярна, угол Y прямой (он составляет 90º).
Глядя на треугольник DEF, гипотенуза равна DE, которая является высотой треугольника ADC и, поскольку все грани равны, это та же высота h треугольника ABC. В свою очередь, одна нога - это высота тетраэдра (DF), которую мы назовем ht, а другая нога - это отрезок EF, который мы уже вычислили. Следовательно:
Наконец, чтобы найти объем тетраэдра (V), как мы объясняли ранее, мы умножаем высоту фигуры (ht) на площадь основания (A), которая рассчитана выше, и делим ее на три:
Пример тетраэдра
Предположим, что тетраэдр правильный, и каждая сторона его граней составляет 20 метров. Каковы площадь (AT) и объем (V) фигуры?
