Теорема Фалеса - это закон геометрии, который говорит нам, что если провести линию параллельно любой стороне треугольника, мы получим треугольник, похожий на исходный треугольник.
Другими словами, если мы разрежем треугольник, проведя линию, параллельную одной из его сторон, мы получим треугольник, аналогичный ранее существовавшему.
Здесь следует отметить, что два треугольника подобны, если их соответствующие углы совпадают (они измеряют одно и то же), а их гомологические стороны пропорциональны друг другу.
Чтобы лучше понять это, давайте посмотрим на следующий рисунок:
По теореме Фалеса можно заключить, что α = δ и β = ε
Кроме того, как мы упоминали ранее, стороны пропорциональны, поэтому верно, что:
Анекдот, рассказанный историком Плутархом, рассказывает, что Фалес Милетский в одном из своих путешествий использовал эту теорему, чтобы узнать высоту пирамид Гизы (пирамид Хеопса, Хефрена и Менкаура) в Египте. Таким образом, он решил приставить палку вертикально к земле, ожидая, пока длина объекта будет равна отбрасываемой им тени. В то время тень пирамиды также была бы равна ее высоте. В этом случае похожими треугольниками являются:
- Тот, у которого две стороны - жезл и его тень.
- Треугольник, одна из сторон которого имеет высоту пирамиды, а другая сторона - ее тень.
Чтобы лучше понять это, давайте представим на рисунке выше, что пирамида - это пирамида, образованная вершинами D, E и F, ее высота - это сегмент HE, а его тень - IE. Между тем стержень - это отрезок AB, а его тень - CB. Следовательно, AB / CB = HE / IE. Это с учетом того, что солнечные лучи параллельны (они не пересекаются и не продолжаются), поэтому они будут образовывать тот же угол со стержнем, что и с пирамидой (углы α и β равны).
Пример теоремы Фалеса
Чтобы лучше понять теорему Фалеса, давайте посмотрим на следующий рисунок:
Если BC имеет размер 7,3 метра, DE - 3,6 метра, а AB - 6,2 метра. Какова длина AD?
Мы выделяем в формуле, показанной ранее, и у нас есть:
7,3 / 3,6 = 6,2 / AD
2,0278 = 6,2 / н.э.
AD = 3,0575 метра
Расширение теоремы Фалеса
Теорема Фалеса может быть распространена на анализ любых двух прямых, которые пересекаются другими прямыми, параллельными друг другу, как мы видим на следующем изображении:
Тогда верно, что:
Это верно, потому что мы должны думать об этих линиях как о части треугольника или, чтобы увидеть это по-другому, если мы продолжим прямые AB и CD, они пересекутся. Нам лучше увидеть это на следующем изображении:
Вторая теорема Фалеса
Существует также вторая теорема Фалеса, согласно которой, если у нас есть треугольник, образованный диаметром окружности, и две линии, пересекающие его (они разрезают фигуру в двух точках), то угол, противоположный диаметру, будет прямым, т. Е. ,, меры 90º.
Следует помнить, что диаметр - это тот отрезок, который, проходя через центр окружности, соединяет две противоположные точки указанной фигуры.
Мы можем лучше увидеть это на следующем изображении:
Мы можем проверить эту теорему, учитывая, что AC, AD и AB имеют одинаковые размеры и равны радиусу окружности (радиус - это любой отрезок, соединяющий точку на окружности с центром фигуры и равный половине диаметр). Итак, треугольники ABC и ABD равнобедренные, а две их одинаковые стороны - это противоположные углы, которые также имеют одинаковые размеры, а именно:
AC = AD = AB = r (радиус окружности)
γ = β и α = δ
Затем, если мы видим треугольник CBD и помним, что внутренние углы треугольника должны составлять в сумме 180 °, мы имеем:
γ + β + α + δ = 180º
2β + 2α = 180º
2 (α + β) = 180º
α + β = 90º
Следовательно, треугольник CBD - это прямоугольный треугольник.