Разницу между вогнутой и выпуклой можно объяснить следующим образом → Термин «выпуклая» относится к тому факту, что поверхность имеет внутреннюю кривизну, тогда как если бы она была вогнутой, кривизна была бы наружной.
Таким образом, мы можем описать это по-другому. Центральная часть выпуклой поверхности более вдавлена или вдавлена. С другой стороны, если бы он был вогнутым, центральная часть была бы заметна.
Чтобы лучше это понять, мы можем привести несколько примеров. Во-первых, классический случай шара, поверхность которого выпуклая. Однако, если мы разрежем его пополам и оставим нижнюю половину, мы получим выпуклый объект с прогибом (при условии, что внутренняя часть сферы пуста).
Другим примером вогнутости может быть гора, поскольку это выступ по отношению к поверхности земли. Напротив, колодец вогнутый, так как вход в него подразумевает погружение ниже уровня земной поверхности.
Следует также отметить, что для определения объекта как вогнутого или выпуклого также необходимо учитывать перспективу. Так, например, суповая тарелка, когда она готова к подаче, бывает выпуклой, имеет прогиб. Однако если перевернуть, пластина будет вогнутой.
Например, если мы проанализируем параболы, они будут выпуклыми, если они имеют U-образную форму, и вогнутыми, если они имеют перевернутую U-образную форму.
Вогнутые и выпуклые функции
Если вторая производная функции меньше нуля в какой-то точке, тогда функция вогнута в этой точке. С другой стороны, если он больше нуля, он выпуклый в этой точке. Вышесказанное можно выразить следующим образом:
Если f »(x) <0, f (x), она вогнутая.
Если f »(x)> 0, то f (x) выпукло.
Например, в уравнении f (x) = x2+ 5x-6, мы можем вычислить его первую производную:
f '(x) = 2x + 5
Затем находим вторую производную:
f »(x) = 2
Следовательно, поскольку f »(x) больше 0, функция будет выпуклой для любого значения x, как мы видим на графике ниже:
Теперь давайте посмотрим на случай этой другой функции: f (x) = - 4x2+ 7x + 9.
f '(x) = - 8x + 7
f »(x) = - 8
Следовательно, поскольку вторая производная меньше 0, функция будет вогнутой для любого значения x.
Но теперь давайте посмотрим на следующее уравнение: -5 x3+ 7x2+5 х-4
f '(x) = - 15x2+ 14x + 5
f »(x) = - 30x + 14
Ставим вторую производную равной нулю:
-30x + 14 = 0
х = 0,4667
Поэтому, когда x больше 0,4667, f »(x) больше нуля, поэтому функция выпуклая. Если x меньше 0,4667, функция будет вогнутой, как мы видим на графике ниже:
Выпуклый и вогнутый многоугольник
Выпуклый многоугольник - это многоугольник, две точки которого можно соединить, проведя прямую линию, которая остается внутри фигуры. Точно так же его внутренние углы меньше 180 °.
С другой стороны, вогнутый многоугольник - это такой многоугольник, в котором для соединения двух его точек должна быть проведена прямая линия, которая находится за пределами фигуры, это внешняя диагональ, соединяющая две вершины. Кроме того, по крайней мере, один из его внутренних углов больше 180 °.
Мы можем увидеть сравнение на изображении ниже:
