Закон больших чисел - Что это такое, определение и понятие

Закон больших чисел - это фундаментальная теорема теории вероятностей, которая указывает, что если мы повторяем много раз (стремясь к бесконечности) один и тот же эксперимент, частота того или иного события имеет тенденцию быть постоянной.

Другими словами, закон больших чисел указывает на то, что если один и тот же тест проводится повторно (например, подбрасывание монеты, бросание колеса рулетки и т. Д.), Частота, с которой будет повторяться определенное событие (которое приходит вверх головы или печать, число 3 выходит черным и т. д.) приблизится к константе. Это, в свою очередь, будет вероятностью наступления этого события.

Происхождение закона больших чисел

Впервые закон больших чисел был упомянут математиком Джероламо Кардамо, хотя и без каких-либо строгих доказательств. Позже Якобу Бернулли удалось полностью продемонстрировать его в своей работе «Ars Conjectandi» в 1713 году. В 1830-х годах математик Симеон Дени Пуассон подробно описал закон больших чисел, который довел до совершенства теорию. Другие авторы также внесут свой вклад позже.

Пример закона больших чисел

Предположим следующий эксперимент: бросьте обычный кубик. Теперь давайте рассмотрим случай, когда мы получим число 1. Как мы знаем, вероятность выпадения числа 1 равна 1/6 (кубик имеет 6 граней, одно из них - одно).

Что нам говорит закон больших чисел? Он говорит нам, что по мере увеличения количества повторений нашего эксперимента (мы делаем больше бросков кубика) частота, с которой событие будет повторяться (мы получаем 1), будет приближаться к константе, которая будет иметь равную значение его вероятности (1/6 или 16,66%).

Возможно, при первых 10 или 20 запусках частота, с которой мы получим 1, будет не 16%, а другой процент, например 5% или 30%. Но по мере того, как мы делаем все больше и больше питчей (скажем, 10 000), частота появления 1 будет очень близка к 16,66%.

На следующем рисунке мы видим пример реального эксперимента, в котором кубик бросается многократно. Здесь мы видим, как меняется относительная частота выпадения определенного числа.

Как показывает закон больших чисел, при первых запусках частота нестабильна, но по мере увеличения числа запусков частота имеет тенденцию стабилизироваться на определенном значении, которое представляет собой вероятность наступления события (в данном случае числа от От 1 до 6, так как это бросок кости).

Неправильная интерпретация закона больших чисел

Многие люди неверно истолковывают закон больших чисел, полагая, что одно событие имеет тенденцию перевешивать другое. Так, например, они считают, что, поскольку вероятность того, что число 1 выпадет на кубике, должна быть близка к 1/6, когда число 1 не появляется в первых 2 или 5 бросках, очень вероятно, что в следующий. Это неверно, поскольку закон больших чисел применяется только для многих повторений, поэтому мы можем потратить весь день на бросание кубика и не достичь частоты 1/6.

Бросок кубика - это независимое событие, поэтому, когда выпадает определенное число, этот результат не влияет на следующий бросок. Только после тысяч повторений мы сможем убедиться, что существует закон больших чисел и что относительная частота получения числа (в нашем примере 1) будет 1/6.

Неправильная интерпретация теории может привести к потере денег и времени людей (особенно игроков).