Скалярное произведение двух векторов согласно его геометрическому определению - это умножение их модулей на косинус угла, образованного обоими векторами.
Другими словами, скалярное произведение двух векторов должно быть произведением модулей обоих векторов и косинуса угла.
Формула скалярного произведения
Для двух векторов скалярное произведение рассчитывается следующим образом:
Это называется скалярным произведением, потому что результат модуля всегда будет скаляром, точно так же, как косинус угла. Результатом этого умножения будет число, которое выражает величину и не имеет направления. Другими словами, результатом скалярного произведения будет число, а не вектор. Поэтому мы будем выражать полученное число как любое число, а не как вектор.
Чтобы узнать величину каждого вектора, вычисляется модуль. Итак, если мы умножим величину одного из векторов (v) на величину другого вектора (a) на косинус угла, который оба образуют, мы узнаем, сколько в сумме измеряют два вектора.
Модуль вектора (v), умноженный на косинус угла, также известен как проекция вектора v на вектор a.
Посмотрите другой способ вычисления скалярного произведения двух векторов
Процесс
- Вычислите модули векторов.
Учитывая любой вектор трех измерений,
Формула для вычисления модуля вектора:
Каждый нижний индекс вектора указывает размеры, в этом случае вектор (a) является трехмерным вектором, поскольку он имеет три координаты.
2. Вычислите косинус угла.
Пример скалярного произведения двух векторов
Вычислите скалярное произведение следующих трехмерных векторов, зная, что угол, который они образуют, составляет 45 градусов.
Чтобы вычислить скалярное произведение, мы сначала должны вычислить модуль векторов:
После того, как мы вычислили модули двух векторов и узнали угол, нам нужно только их умножить:
Следовательно, скалярное произведение предыдущих векторов составляет 1,7320 единиц.
График
Следующие векторы будут выглядеть на трехмерном графике следующим образом:
Для вектора (c) мы видим, что компонента z равна нулю, следовательно, она будет параллельна оси абсцисс. Вместо этого компонент z вектора (b) положительный, поэтому мы можем видеть, как он наклоняется вверх. Оба вектора находятся в квадранте положительных с точки зрения компонента, поскольку он положительный и одинаков.