Конечные множества - это те, чья мощность или количество элементов в нем равно натуральному числу.
Другими словами, конечный набор - это набор, в котором есть количество элементов, которые можно подсчитать. Противоположность бесконечному множеству, где элементы неисчислимы.
Более формальный способ выразить конечность множества состоит в том, что элементы этого множества, которое мы назовем M, могут быть спарены с элементами множества (1, 2,…, n), которое мы назовем N. Это последовательность целых чисел, в которой каждый элемент равен предыдущему, плюс единица измерения.
Таким образом, элементы M и N могут быть спарены один за другим (что известно как взаимно однозначное соответствие), не пропуская ни одного элемента из двух наборов.
Также говорят, что M и N равносильны, то есть для каждого элемента M существует элемент N.
Кроме того, число n (самый большой элемент множества N) совпадает с количеством элементов множества M, где n - кардинал, мощность или мощность N, и его обозначение - card (N), | N | или #N.
Примеры конечных множеств
Вот некоторые примеры конечных множеств:
- Нечетные целые числа больше 13 и меньше 29: (15, 17, 19, 21, 23, 25, 27)
- Океаны Земли: Атлантический, Тихий, Индийский, Арктический, Антарктический.
- Список двадцати учеников, которые принадлежат классу.
Свойства конечных множеств
К основным свойствам конечных множеств относятся те, которые представлены ниже:
- Объединение двух или более конечных множеств приводит к конечному множеству.
- Пересечение (общие элементы) конечного множества с одним или несколькими наборами конечно.
- Подмножество конечного множества также конечно.
- Подмножество C конечного множества M характеризуется меньшим числом элементов, чем M. То есть верно, что: Если C ⊊ M и | M | = n, то | C | <n (Символ ⊊ означает, что C является собственным подмножеством M. То есть все элементы C содержатся в M, но есть по крайней мере один элемент M, который не находится в C).
- Множество степеней конечного множества M, которое включает в себя все подмножества, которые могут быть образованы элементами множества M (включая пустое множество или ∅), конечно и имеет 2п elements, где n - количество элементов в M. Например, если у нас есть:
(1, 3, 41)
Набор мощности будет: (∅, (1,3), (1,41), (3,41), (1), (3), (41), (1,3,41))
Как мы видим, набор мощности конечного набора из трех элементов имеет восемь (23) элементы.