Теорема Байеса используется для расчета вероятности события, заранее имея информацию об этом событии.
Мы можем вычислить вероятность события A, зная также, что это событие A соответствует определенной характеристике, определяющей его вероятность. Теорема Байеса понимает вероятность обратно пропорционально теореме о полной вероятности. Теорема полной вероятности делает вывод о событии B из результатов событий A. Со своей стороны, Байес вычисляет вероятность A, обусловленного B.
Теорема Байеса широко подвергалась сомнению. Это произошло в основном из-за плохого применения. Поскольку, пока выполняются предположения о непересекающихся и исчерпывающих событиях, теорема полностью верна.
Формула теоремы Байеса
Чтобы вычислить вероятность, определенную Байесом для этого типа событий, нам нужна формула. Формула математически определяется как:
Где B - событие, о котором у нас есть предыдущая информация, а A (n) - различные обусловленные события. В части числителя - условная вероятность, а в нижней - полная вероятность. В любом случае, хотя формула кажется немного абстрактной, она очень проста. Чтобы продемонстрировать это, мы будем использовать пример, где вместо A (1), A (2) и A (3) мы будем напрямую использовать A, B и C.
Пример теоремы Байеса
У компании есть завод в Соединенных Штатах, на котором есть три машины, A, B и C, которые производят емкости для бутылок с водой. Известно, что машина A производит 40% от общего количества, машина B 30% и машина C 30%. Также известно, что каждая машина производит дефектную упаковку. Таким образом, машина A производит 2% дефектных упаковок от общего объема производства, машина B 3% и машина C 5%. При этом возникают два вопроса:
P (A) = 0,40 P (D / A) = 0,02
P (B) = 0,30 P (D / B) = 0,03
P (C) = 0,30 P (D / C) = 0,05
1. Если контейнер был произведен на заводе этой компании в США, какова вероятность того, что он неисправен?
Рассчитывается полная вероятность. Поскольку, исходя из различных событий, мы рассчитываем вероятность того, что он неисправен.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032
Выражаясь в процентах, мы можем сказать, что вероятность того, что контейнер, произведенный на заводе этой компании в США, является бракованным, составляет 3,2%.
2. Продолжая предыдущий вопрос, если контейнер был приобретен и он неисправен, какова вероятность того, что он был изготовлен на машине A? И на машине B? И на машине C?
Здесь используется теорема Байеса. У нас есть предварительная информация, то есть мы знаем, что упаковка неисправна. Конечно, зная, что он неисправен, мы хотим знать, какова вероятность того, что он был произведен на одной из машин.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47
Зная, что контейнер неисправен, вероятность того, что он был изготовлен машиной A, составляет 25%, что он был произведен машиной B, составляет 28% и что он был произведен машиной C, составляет 47%.