Ортоцентр - это точка пересечения трех высот треугольника, который находится внутри или снаружи фигуры.
Следует помнить, что высота треугольника - это тот сегмент, который начинается от каждой вершины треугольника и простирается к его противоположной стороне, образуя прямой угол или 90º. То есть высота и соответствующая ей сторона перпендикулярны.
На рисунке выше, например, точка O является ортоцентром фигуры, а высота треугольника равна CF, BE и AD.
Ортоцентр по типу треугольника
Ортоцентр в зависимости от типа рассматриваемого треугольника имеет разные характеристики:
- Прямоугольный треугольник: Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной, соответствующей прямому углу. На рисунке ниже, например, высота равна BF, а сами отрезки треугольника AB и BC, ортоцентр - вершина B.
Также стоит упомянуть, что высоты AB и BC - это катеты, то есть стороны, образующие прямой угол, а AC - гипотенуза.
- Тупой треугольник: Ортоцентр находится за пределами треугольника, когда он тупой, то есть когда один из внутренних углов фигуры больше 90 °.
На изображении ниже, например, высоты - это AH, CI и FB, поэтому мы ищем точку пересечения их продолжений, которая будет точкой O.
- Острый треугольник: Ортоцентр находится внутри фигуры, когда треугольник острый, то есть когда все его внутренние углы острые или меньше 90º (см. Первое изображение этой статьи).
Ортический треугольник
Ортический треугольник - это треугольник, вершины которого являются основаниями трех высот треугольника. Как видно на рисунке ниже, ортический треугольник треугольника ABC является треугольником FGH.
Также верно, что ортоцентр (точка I) треугольника ABC также является центром вписанной окружности (содержащейся в) ортического треугольника.
Как найти ортоцентр треугольника
Предположим, у нас есть уравнение прямых, содержащих две из следующих высот треугольника:
у = -137,7х-1941
у = 0,6х + 7
Итак, мы должны найти, при каких значениях x и y обе линии совпадают. Сначала мы решаем относительно x, приравнивая правую часть каждого уравнения:
-137,7x-1941 = 0,6x + 7
-138,3x = 1948
х = -14,0853
Затем мы решаем для и в любом из двух уравнений:
у = (0,6х-14,0853) +7
у = -8,4512 + 7 = -1,4512
Следовательно, координаты ортоцентра в декартовой плоскости равны (-14,0853, 1,4512)