Линейное преобразование матриц - это линейные операции с матрицами, которые изменяют начальную размерность данного вектора.
Другими словами, мы можем изменить размерность вектора, умножив его на любую матрицу.
Линейные преобразования лежат в основе векторов и собственных значений матрицы, поскольку они линейно зависят друг от друга.
Рекомендуемые статьи: операции с матрицами, векторами и собственными значениями.
Математически
Определим матрицуC любой размерности 3 × 2, умноженный на вектор V размерностип = 2 такое, что V = (v1, v2).
Какой размерности будет результирующий вектор?
Вектор, полученный из произведения матрицыC3×2с векторомV2×1будет новым вектором V размерности 3.
Это изменение размерности вектора связано с линейным преобразованием через матрицу C.
Практический пример
Учитывая квадратную матрицур размерностью 2 × 2 и векторомV размерности 2.
Линейное преобразование размерности вектораV это:
где начальная размерность вектора V было 2 × 1, и теперь последнее измерение вектора Понимаете3 × 1. Это изменение размерности достигается умножением матрицы р.
Можно ли представить эти линейные преобразования графически? Да, конечно!
Представим результирующий вектор V 'на плоскости.
Потом:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
Графически
Собственные векторы с использованием графического представления
Как мы можем определить, что вектор является собственным вектором данной матрицы, просто взглянув на график?
Определим матрицуD размерности 2 × 2:
Являются ли векторы v1= (1,0) и v2= (2,4) собственные векторы матрицы D?
Процесс
1. Начнем с первого вектора v1. Проделаем предыдущее линейное преобразование:
Итак, если вектор v1 является собственным вектором матрицы D, результирующий вектор v1'И вектор v1они должны принадлежать к одной линии.
Мы представляем v1 = (1,0) и v1’ = (3,0).
Поскольку оба v1как V1'Принадлежат к той же линии, v1 является собственным вектором матрицы D.
Математически существует постояннаячас(собственное значение) такое, что:
2. Продолжаем со вторым вектором v2. Повторяем предыдущее линейное преобразование:
Итак, если вектор v2 является собственным вектором матрицы D, результирующий вектор v2'И вектор v2 они должны принадлежать к одной линии (как на графике выше).
Мы представляем v2 = (2,4) и v2’ = (2,24).
Поскольку v2 и V2’Не принадлежат к одной линии, v2 не является собственным вектором матрицы D.
Математически нет постояннойчас(собственное значение) такое, что:
