Линейное преобразование матриц

Линейное преобразование матриц - это линейные операции с матрицами, которые изменяют начальную размерность данного вектора.

Другими словами, мы можем изменить размерность вектора, умножив его на любую матрицу.

Линейные преобразования лежат в основе векторов и собственных значений матрицы, поскольку они линейно зависят друг от друга.

Рекомендуемые статьи: операции с матрицами, векторами и собственными значениями.

Математически

Определим матрицуC любой размерности 3 × 2, умноженный на вектор V размерностип = 2 такое, что V = (v₁, v₂).

Какой размерности будет результирующий вектор?

Вектор, полученный из произведения матрицыC_3×2с векторомV_2×1будет новым вектором V размерности 3.

Это изменение размерности вектора связано с линейным преобразованием через матрицу C.

Практический пример

Учитывая квадратную матрицур размерностью 2 × 2 и векторомV размерности 2.

Линейное преобразование размерности вектораV это:

где начальная размерность вектора V было 2 × 1, и теперь последнее измерение вектора Понимаете3 × 1. Это изменение размерности достигается умножением матрицы р.

Можно ли представить эти линейные преобразования графически? Да, конечно!

Представим результирующий вектор V 'на плоскости.

Потом:

V = (2,1)

V ’= (6,4)

Графически

Собственные векторы с использованием графического представления

Как мы можем определить, что вектор является собственным вектором данной матрицы, просто взглянув на график?

Определим матрицуD размерности 2 × 2:

Являются ли векторы v₁= (1,0) и v₂= (2,4) собственные векторы матрицы D?

Процесс

1. Начнем с первого вектора v₁. Проделаем предыдущее линейное преобразование:

Итак, если вектор v₁ является собственным вектором матрицы D, результирующий вектор v₁'И вектор v₁они должны принадлежать к одной линии.

Мы представляем v₁ = (1,0) и v₁’ = (3,0).

Поскольку оба v₁как V₁'Принадлежат к той же линии, v₁ является собственным вектором матрицы D.

Математически существует постояннаячас(собственное значение) такое, что:

2. Продолжаем со вторым вектором v₂. Повторяем предыдущее линейное преобразование:

Итак, если вектор v₂ является собственным вектором матрицы D, результирующий вектор v₂'И вектор v₂ они должны принадлежать к одной линии (как на графике выше).

Мы представляем v₂ = (2,4) и v₂’ = (2,24).

Поскольку v₂ и V₂’Не принадлежат к одной линии, v₂ не является собственным вектором матрицы D.

Математически нет постояннойчас(собственное значение) такое, что: