Матрица квадратичной формы - что это такое, определение и понятие

Матричная квадратичная форма - это произведение вектора порядка n с любой квадратной матрицей на транспонированный вектор порядка n.

Другими словами, матричная квадратичная форма представляет собой линейную комбинацию квадратной матрицы, вектора порядка n и транспонирования этого вектора.

Рекомендуемая статья: операции с матрицами.

Матрица Формула квадратичной формулы

Учитывая квадратную матрицу Z порядка n и вектора h размерности n, мы можем записать выражение, называемое квадратичной формой вида:

Результатом квадратичной формы всегда будет скаляр, то есть одно число, а не матрица.

Приложения

Матричная квадратичная форма используется для определения степени положительности и отрицательности определенных матриц. В зависимости от значений вектора h значение квадратичной формы будет нулевым (0), положительным или отрицательным.

Как только мы получили квадратичную форму, мы можем сказать, что мы «определили» матрицу. Итак, можно говорить об определенной матрице. Эта матрица может быть положительно определенной, положительно полуопределенной, отрицательно определенной и отрицательной полуопределенной.

Практический пример

Нахождение квадратичной формы квадратной матрицы Z учитывая вектор h:

Процесс

Сначала транспонируем вектор h.

Затем применим формулу квадратичной формы.

Как мы уже говорили ранее, результатом квадратичной формы всегда будет одно число. В данном случае это строго положительное число.

Но … Как может получиться конкретное число, а не матрица, если мы умножаем матрицы?

Уменьшение размерности матрицы из-за умножения происходит потому, что мы умножаем матрицы, которые имеют одинаковое количество столбцов и строк.

Демонстрация:

Из матричного продукта Z а от транспонированного вектора h остается вектор размерности 3 × 1. Таким же образом произведение результирующего вектора и вектора h остается матрицей размерности 1 × 1. Матрица размерности 1 × 1 является скаляром.

Итак, если мы вычислим квадратичную форму матрицы и получим матрицу с размером больше 1 × 1 (мы получим другой результат, отличный от определенного числа), это будет означать, что мы допустили ошибку на каком-то шаге и что результат неверный.