Парадокс Санкт-Петербурга - это парадокс, замеченный Николаусом Бернулли, и причина его в том, что он занимается азартными играми. Этот парадокс говорит нам о том, что в теории принятия решений все ставки принимаются, независимо от их стоимости, даже если указанная стоимость показывает нам, что это не рациональное решение.
Санкт-Петербургский парадокс, если мы правильно его понимаем, был парадоксом, описанным Николаем Бернулли после наблюдения за азартными играми, поэтому этот парадокс существует.
Теория игрВ этом смысле парадокс говорит нам, что теория сформулированных решений показывает нам, что рациональное решение в игре со ставками - это все, независимо от суммы, которую предполагает каждая ставка. Однако, правильно проанализировав эту ситуацию и внимательно изучив теорию, мы замечаем, что ни одно рациональное существо не выбрало бы решение поставить сумму денег, близкую к бесконечности, хотя теория указывает, что это рационально. По этой причине возникает парадокс.
Первоначально парадокс заметил Николаус Бернулли, как он явствует из письма, отправленного им Пьеру де Монморту, французскому аристократу и математику, 9 сентября 1713 года.
Однако, поскольку исследование Николауса не дало результатов, он представил парадокс своему двоюродному брату Даниэлю Бернулли в 1715 году, математику голландского происхождения и ректору Базельского университета, который, встречаясь в Санкт-Петербурге с видной группой ученых, а затем лет исследований, опубликовал в 1738 году новую систему измерения в своем труде «Изложение новой теории измерения риска».
Модель, предложенная Даниэлем, в отличие от модели, предложенной Николаем, закладывает основы для того, что позже уточнит и завершит теорию ожидаемой полезности.
Формула парадокса Санкт-Петербурга
Формулировка, предложенная Николаусом Бернулли своему двоюродному брату и Пьеру де Монморту, выглядит следующим образом:
Представим себе азартную игру, в которой игрок, очевидно, должен заплатить определенную сумму для участия.
Предположим, игрок делает ставку на решку и подбрасывает монету последовательно, пока не выпадет решка. После решки игра останавливается, и игрок получает $ 2 n.
Таким образом, если решка, игрок сначала выигрывает 2 1, что составляет 2 доллара. Но если снова выпадет решка, получится 2 2, что составляет 4 доллара и так далее. Если он выйдет снова, это будет 8 долларов, что эквивалентно 2 3; в то время как, если он выйдет в четвертый раз, приз составит 16 долларов, что соответствует представлению 2 4.
Таким образом, вопрос Николая был следующий: учитывая вышеупомянутую последовательность и прибыль, сколько игрок готов заплатить за эту игру, не теряя рациональности?
Пример петербургского парадокса
Принимая во внимание формулировку, предложенную Николаусом, и сомнения, которые он высказал французскому математику и его двоюродному брату, давайте посмотрим на причину этого парадокса в качестве примера, чтобы понять, что мы имеем в виду.
Прежде всего, мы должны знать, что до начала игры у нас есть бесконечное количество возможных результатов. Что ж, даже если вероятность равна 1/2, решка может не выпасть до 8-го броска.
Следовательно, вероятность того, что этот крест появится на броске k, равна:
Pk = 1 / 2k
Также прибыль 2к.
Продолжая развитие, первые решки в первом броске дают выигрыш в 2 раза.1 (2 доллара) и вероятность 1/2. Прирост со второй попытки равен 2.2 (4 доллара) и вероятность 1/22; тогда как, если выпадет решка с третьей попытки, игрок выигрывает 23 (8 долларов) и вероятность 1/23. Как мы видим, отношения расширяются, пока мы добавляем пробеги.
Прежде чем продолжить, следует отметить, что в теории принятия решений мы называем математическим ожиданием (EM) или ожидаемым выигрышем в игре сумму призов, связанных с каждым из возможных результатов игры, и все они взвешиваются по вероятность того, что произойдет каждый из этих исходов.
Если мы примем во внимание подход, демонстрирующий этот парадокс, то увидим, что при игре вероятность выигрыша 2 долларов равна 1/2, но, кроме того, вероятность выигрыша 4 равна 1/4, а вероятность выигрыша 8 долларов равна 1/8. Это до тех пор, пока не дойдут до таких ситуаций, как выигрыш 64 доллара, при этом вероятность для этого случая составляет 1/64.
Таким образом, с этими результатами, если мы вычисляем математическое ожидание или то, что мы знаем как ожидаемый выигрыш в игре, мы должны сложить выигрыши всех возможных результатов, взвешенные по вероятности их появления, чтобы результат показал нам бесконечное число значение.
Если мы будем следовать теории выбора, она говорит нам, что мы должны ставить любую сумму на тот простой факт, что каждое решение выгодно для нас. Факт, что это парадокс, состоит в том, что, рационально, игрок не будет делать ставки бесконечно, даже если теория подталкивает его к этому.
Выдающийся парадокс
Многие математики пытались расшифровать парадокс, предложенный Бернулли, однако есть также многие, кто не смог его решить.
Таким образом, существует множество примеров, которые показывают нам, как парадокс пытались разрешить математики, которые обращались как к структуре игры, так и к решениям самих людей. Однако на сегодняшний день мы все еще не можем найти верного решения.
И дело в том, что для того, чтобы получить представление о сложности этого парадокса, принимая во внимание теорию выбора в этом примере, мы предполагаем в качестве возможного приза после расчета бесконечное количество монет, которые даже если предположить, что это было возможно, это было бы несовместимо с самой денежной системой, поскольку это деньги, которые, вопреки парадоксу, ограничены.
