Объединение событий - это операция, результат которой состоит из всех неповторяющихся элементарных событий, которые у двух или более наборов являются общими, а не общими.
То есть, учитывая два набора A и B, объединение A и B будет образовано всеми неповторяющимися наборами, в которых есть A и B. Интуитивно вероятность объединения событий A и B будет означать реакцию на вопрос: какова вероятность того, что выпадет А или выпадет Б?
Символ объединения событий - U. Таким образом, если мы хотим математически заметить объединение двух событий B и D, мы бы заметили это как: B U D.
Обобщение объединения событий
До сих пор мы видели и указывали на объединение двух событий. Например, A U B или B U D. Но что, если у нас есть три, четыре и даже сто событий?
Это то, что мы называем обобщением, то есть формула, которая помогает нам заметить действие объединения событий в этих случаях. Если у нас есть 8 событий, вместо записи десяти событий мы будем использовать следующие обозначения:
Вместо того, чтобы называть каждое событие A, B или любой буквой, мы будем называть Yes. S - это событие, а индекс i указывает номер. Таким образом, применительно к примеру из 10 событий мы получим следующее:
Что мы сделали, так это применили предыдущие обозначения и развили их. Теперь нам не всегда нужно это делать. Особенно, если речь идет о большом количестве мероприятий.
Союз непересекающихся и не пересекающихся событий
Концепция непересекающихся событий указывает на то, что два события не имеют общих элементов.
Когда они не пересекаются, операция объединения событий проста. Вам нужно только сложить вероятности обоих, чтобы получить вероятность того, что произойдет то или иное событие. Однако, когда события не пересекаются, необходимо добавить небольшую деталь. Повторяющиеся элементы необходимо исключить. Например:
Предположим, что пространство результатов изменяется от 1 до 5. События следующие:
Событие A: (1,2,4) -> 60% вероятность = 0,6
Событие B: (1,4,5) -> 60% вероятность = 0,6
Интуитивно понятно, что операция A U B состоит в сложении событий A и событий B, но если мы сделаем это, вероятность будет 1,2 (0,6 + 0,6). И, как показывают аксиомы вероятности, вероятность всегда должна быть между 0 и 1. Как мы ее решаем? Вычитание пересечения событий A и B. То есть удаление повторяющихся элементов:
А + В = (1,1,2,4,4,5)
A ∩ B = (1,4)
A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)
Что касается вероятностей, нам нужно:
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0,6 +0,6 - 0,4 = 0,8 (80%)
Действительно, вероятность выпадения 1, 2, 4 или 5. Предполагая, что все числа имеют одинаковую вероятность выпадения, составляет 80%.
Графически это выглядело бы так:
Свойства Event Union
Объединение событий - это разновидность математической операции. Некоторые типы операций - это также сложение, вычитание, умножение. У каждого из них есть ряд свойств. Например, мы знаем, что результат добавления 3 + 4 точно такой же, как результат добавления 4 +3. На данный момент объединение событий имеет несколько свойств, которые стоит знать:
- Коммутативный: Это означает, что порядок, в котором это написано, не влияет на результат. Например:
- A U B = B U A
- C U D = D U C
- Ассоциативный: Предполагая, что есть три события, нам все равно, какое из них сделать первым, а какое - следующим. Например:
- (A U B) U C = A U (B U C)
- (A U C) U B = (A U B) U C
- Распределительный: Когда мы включаем операцию пересечения, свойство распределения сохраняется. Взгляните на следующий пример:
- A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Пример объединения событий
Вот простой пример объединения двух событий A и B. Предположим, что подбрасывается идеальный кубик. Кубик с шестью гранями, пронумерованными от 1 до 6. Таким образом, события определены ниже:
К: Что оно больше 2. (3,4,5,6) с вероятностью 4/6 => P (A) = 0,67
C: Пусть выходят пять. (5) по вероятности 1/6 => P (C) = 0,17
Какова вероятность A U C?
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)
Поскольку P (A) и P (C) уже есть, мы собираемся вычислить P (A ∩ C)
A ∩ C = (5) в вероятностях P (A ∩ C) = 1/6 = 0,17
Конечный результат:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (67%)
Вероятность того, что выпадет больше 2 или выпадет 5, составляет 67%.