Собственные векторы - это векторы, умноженные на собственное значение в линейных преобразованиях матрицы. Собственные значения - это константы, которые умножают собственные векторы при линейных преобразованиях матрицы.
Другими словами, собственные векторы переводят информацию из исходной матрицы в произведение значений и константы. Собственные значения - это константа, которая умножает собственные векторы и участвует в линейном преобразовании исходной матрицы.
Хотя его название на испанском языке очень информативно, на английском языке собственные векторы называются собственные векторы и собственные значения, собственные значения.
Рекомендуемые статьи: типологии матриц, обратная матрица, определитель матрицы.
Собственные векторы
Собственные векторы - это наборы элементов, которые при умножении любой константы эквивалентны умножению исходной матрицы и наборов элементов.
Математически собственный векторV= (v1,…, Vп) квадратной матрицыQ любой векторV которое удовлетворяет следующему выражению для любой константычас:
QV = hV
Собственные ценности
Постоянная час - собственное значение, принадлежащее собственному вектору V.
Собственные значения - это действительные корни (корни, которые имеют действительные числа в качестве решения), которые мы находим с помощью характеристического уравнения.
Характеристики собственных значений
- Каждое собственное значение имеет бесконечные собственные векторы, поскольку есть бесконечные действительные числа, которые могут быть частью каждого собственного вектора.
- Это скаляры, они могут быть комплексными числами (не действительными) и могут быть идентичными (более одного равного собственного значения).
- Собственных значений столько, сколько строк (м) или столбцы (п) имеет исходную матрицу.
Векторы и собственные значения
Между векторами и собственными значениями существует линейная зависимость, поскольку собственные значения умножают собственные векторы.
Математически
Если V - собственный вектор матрицыZ Y час - собственное значение матрицы Z, тогдаhV представляет собой линейную комбинацию векторов и собственных значений.
Характеристическая функция
Характеристическая функция используется для нахождения собственных значений матрицыZ квадратный.
Математически
(Z - hl) V = 0
Где ZYчас определены выше ия - единичная матрица.
Условия
Чтобы найти векторы и собственные значения матрицы, она должна быть удовлетворена:
- Матрица Z квадрат: количество строк (м) равно количеству столбцов (п).
- Матрица Z настоящий. Большинство матриц, используемых в финансах, имеют реальные корни. Какая польза от использования настоящих корней? Что ж, собственные значения матрицы никогда не будут комплексными числами, и это, друзья, решает нашу жизнь во многом.
- Матрица (Z- Привет) необратимый: определитель = 0. Это условие помогает нам всегда находить собственные векторы, отличные от нуля. Если бы мы нашли собственные векторы, равные 0, то умножение между значениями и собственными векторами было бы равно нулю.
Практический пример
Мы предполагаем, что мы хотим найти векторы и собственные значенияZ Матрица размерности 2 × 2:
1. Подставляем матрицу Z Yя в характеристическом уравнении:
2. Фиксируем факторы:
3. Умножаем элементы так, как будто ищем определитель матрицы.
4. Решение этого квадратного уравнения h = 2 и h = 5. Два собственных значения, потому что количество строк или столбцов в матрице Z равно 2. Итак, мы нашли собственные значения матрицы Z которые, в свою очередь, делают определитель 0.
5. Чтобы найти собственные векторы, нам нужно будет решить:
6. Например, (v1, v2) = (1,1) для h = 2 и (v1, v2) = (- 1,2) для h = 5:
