Векторы и собственные значения - Что это такое, определение и понятие

Собственные векторы - это векторы, умноженные на собственное значение в линейных преобразованиях матрицы. Собственные значения - это константы, которые умножают собственные векторы при линейных преобразованиях матрицы.

Другими словами, собственные векторы переводят информацию из исходной матрицы в произведение значений и константы. Собственные значения - это константа, которая умножает собственные векторы и участвует в линейном преобразовании исходной матрицы.

Хотя его название на испанском языке очень информативно, на английском языке собственные векторы называются собственные векторы и собственные значения, собственные значения.

Рекомендуемые статьи: типологии матриц, обратная матрица, определитель матрицы.

Собственные векторы

Собственные векторы - это наборы элементов, которые при умножении любой константы эквивалентны умножению исходной матрицы и наборов элементов.

Математически собственный векторV= (v₁,…, V_п) квадратной матрицыQ любой векторV которое удовлетворяет следующему выражению для любой константычас:

QV = hV

Собственные ценности

Постоянная час - собственное значение, принадлежащее собственному вектору V.

Собственные значения - это действительные корни (корни, которые имеют действительные числа в качестве решения), которые мы находим с помощью характеристического уравнения.

Характеристики собственных значений

• Каждое собственное значение имеет бесконечные собственные векторы, поскольку есть бесконечные действительные числа, которые могут быть частью каждого собственного вектора.
• Это скаляры, они могут быть комплексными числами (не действительными) и могут быть идентичными (более одного равного собственного значения).
• Собственных значений столько, сколько строк (м) или столбцы (п) имеет исходную матрицу.

Векторы и собственные значения

Между векторами и собственными значениями существует линейная зависимость, поскольку собственные значения умножают собственные векторы.

Математически

Если V - собственный вектор матрицыZ Y час - собственное значение матрицы Z, тогдаhV представляет собой линейную комбинацию векторов и собственных значений.

Характеристическая функция

Характеристическая функция используется для нахождения собственных значений матрицыZ квадратный.

Математически

(Z - hl) V = 0

Где ZYчас определены выше ия - единичная матрица.

Условия

Чтобы найти векторы и собственные значения матрицы, она должна быть удовлетворена:

• Матрица Z квадрат: количество строк (м) равно количеству столбцов (п).
• Матрица Z настоящий. Большинство матриц, используемых в финансах, имеют реальные корни. Какая польза от использования настоящих корней? Что ж, собственные значения матрицы никогда не будут комплексными числами, и это, друзья, решает нашу жизнь во многом.
• Матрица (Z- Привет) необратимый: определитель = 0. Это условие помогает нам всегда находить собственные векторы, отличные от нуля. Если бы мы нашли собственные векторы, равные 0, то умножение между значениями и собственными векторами было бы равно нулю.

Практический пример

Мы предполагаем, что мы хотим найти векторы и собственные значенияZ Матрица размерности 2 × 2:

1. Подставляем матрицу Z Yя в характеристическом уравнении:

2. Фиксируем факторы:

3. Умножаем элементы так, как будто ищем определитель матрицы.

4. Решение этого квадратного уравнения h = 2 и h = 5. Два собственных значения, потому что количество строк или столбцов в матрице Z равно 2. Итак, мы нашли собственные значения матрицы Z которые, в свою очередь, делают определитель 0.

5. Чтобы найти собственные векторы, нам нужно будет решить:

6. Например, (v₁, v₂) = (1,1) для h = 2 и (v₁, v₂) = (- 1,2) для h = 5: