Модель Васичека - это однофакторная модель равновесия процентных ставок, основанная на броуновском геометрическом процессе, который учитывает возврат к среднему и временную структуру процентных ставок.
Другими словами, модель Васичека используется для прогнозирования долгосрочных процентных ставок путем моделирования краткосрочных процентных ставок. Кроме того, учитывается, что процентные ставки различаются в разные периоды времени (временная структура процентных ставок).
Модели равновесных процентных ставок используют краткосрочные процентные ставки для расчета будущих процентных ставок с учетом временной структуры процентных ставок.
Для построения кривой доходности нам потребуются краткосрочные процентные ставки и параметры модели. Когда у нас есть краткосрочные процентные ставки и параметры, мы можем рассчитать долгосрочные процентные ставки.
Итак, чтобы рассчитать будущие цены облигаций с нулевым купоном, нам нужны краткосрочные процентные ставки с нулевым купоном. Таким образом, мы также можем построить кривую или временную структуру процентных ставок с нулевым купоном. Получив кривую, мы определим эволюцию долгосрочных процентных ставок с учетом краткосрочных процентных ставок.
Формула модели Васичека: цена облигации с нулевым купоном.
Аналитическое решение для определения цены облигации с нулевым купоном, по которой выплачивается 1 евро при погашении (T) в любой период времени (t) и по краткосрочной процентной ставке (r (t)).
Не паникуй!
Нам просто необходимо:
- Период времени, в течение которого мы хотим узнать процентные ставки, то есть T.
- Момент времени, в котором мы находимся сейчас, или желаемый момент начала, то есть t.
- Кривая краткосрочной процентной ставки, то есть r (T) или rТ . Если бы мы хотели выразить процентные ставки в начальный период, мы бы использовали r (T) или rТ.
- В этих формулах мы будем рассматривать параметры a, b и s как постоянные во времени.
- Стандартное отклонение, с.
Чтобы рассчитать цену облигации с нулевым купоном, по которой выплачивается 1 евро при погашении (T) в любой период времени (t), нам нужно только указать значения параметров a, b и s и смоделировать краткосрочные процентные ставки. (г (т)).
Представление модели Васичека: цена облигации с нулевым купоном
P (t, T) представляет собой цену облигации с момента t до T.
Итак… Цены на облигации всегда будут такими?
Вовсе нет, как мы сказали в начале, процентные ставки зависят от броуновского геометрического процесса и, следовательно, подразумевают наличие случайной составляющей N (0,1). Таким образом, каждый раз, когда мы вычисляем вышеуказанные формулы, краткосрочные ставки будут меняться, как и долгосрочные процентные ставки, цены облигаций и их представление.
Мы будем использовать следующие формулы, чтобы найти r (T) и R (T).
Формула модели Васичека: краткосрочные процентные ставки
Формула краткосрочной процентной ставки (rТ):
Формула долгосрочной процентной ставки (RТ):
Представление модели Васичека: кривая процентной ставки
