Конус - это трехмерная геометрическая фигура, образованная вращением прямоугольного треугольника вокруг одной из его ног.
Тогда конус представляет собой геометрическое тело с круглым основанием, которое прикреплено к внешней точке, называемой вершиной.
Следует отметить, что конус - это тело вращения. То есть получить его можно, вращая фигуру или плоскую поверхность вокруг оси. Эти типы фигур отличаются тем, что они не имеют плоских граней, таких как многоугольник, а имеют изогнутую поверхность. Некоторые другие примеры - цилиндр и сфера.
Следует уточнить, что в этой статье мы подробно расскажем о характеристиках конуса, у которого вершина перпендикулярна основанию (образует прямой угол или 90º). Однако бывают косые конусы, такие, где это условие не выполняется и фигура наклонная.
Элементы конуса
Элементы конуса, которыми мы руководствуемся на рисунке ниже, следующие:
- Ось: Это воображаемая линия, на которой расположена ножка, вокруг которой вращается прямоугольный треугольник, образующий конус.
- База: Это круг, на котором образуется тело конуса. Его радиус (r) - это отрезок AC.
- Директива: Это периметр основания конуса.
- Женератриса (отрезок BC длины L): Это линия, соединяющая вершину с любой точкой на направляющей. То есть любой отрезок, соединяющий вершину с контуром основания. Кроме того, это гипотенуза прямоугольного треугольника, которая вращается, образуя конус.
- Вершина конуса (точка B): Внешняя точка - это директриса, в которой совпадают все образующие фигуры. Это куспид геометрического тела.
- Высота (отрезок AB длиной h): Это перпендикулярный отрезок, соединяющий вершину и основание. Он совпадает с ногой, вокруг которой вращается треугольник, образуя конус.
Площадь и объем конуса
Чтобы лучше понять характеристики конуса, мы можем рассчитать следующие размеры:
- Область: Чтобы найти площадь конуса, мы должны добавить площадь основания (Aб) плюс площадь тела фигуры или боковая область (AL)
Площадь основания рассчитывается, как описано в статье о длине окружности, путем умножения π на радиус окружности в квадрате.
Аналогичным образом, поперечная площадь вычисляется путем умножения π на радиус основания и длину образующей (L).
Итак, мы можем найти общую площадь фигуры:
Мы также должны принять во внимание, что образующая - это гипотенуза прямоугольного треугольника, который она образует вместе с радиусом основания и высотой конуса, причем последние два являются катетами. Следовательно, можно применить теорему Пифагора:
- Объем: Объем конуса рассчитывается умножением 1/3 на радиус основания в квадрате, на π и на высоту конуса.
Пример конуса
Предположим, у нас есть конус, основание которого имеет радиус 12 метров, а высота фигуры - 14 метров. Какова площадь и объем конуса?
Сначала мы решаем длину образующей (L), применяя теорему Пифагора, как описано выше:
Затем подставляем L в формулу площади, чтобы найти площадь конуса:
Наконец, находим объем:
