Обратная матрица - это линейное преобразование матрицы путем умножения значения, обратного определителю матрицы, на присоединенную транспонированную матрицу.
Другими словами, обратная матрица - это умножение обратной части определителя на транспонированную сопряженную матрицу.
Рекомендуемые статьи: определитель матрицы, квадратная матрица, главная диагональ и операции с матрицами.
Для любой матрицы X такой, что
Формула обратной матрицы матрицы второго порядка
Тогда обратная матрица X будет
Используя эту формулу, мы получаем обратную матрицу квадратной матрицы порядка 2.
Вышеупомянутая формула также может быть выражена определителем матрицы.
Формула обратной матрицы матрицы второго порядка
Две параллельные линии вокруг X в знаменателе указывают, что это определитель матрицы X.
Когда квадратная матрица имеет обратную матрицу, мы говорим, что это обычная матрица.
Требования
Чтобы найти обратную матрицу матрицы порядка n, нам необходимо выполнить следующие требования:
- Матрица должна быть квадратной матрицей.
Количество строк (n) должно быть таким же, как количество столбцов (m). То есть порядок матрицы должен быть n при n = m.
- Определитель должен быть отличным от нуля (0).
Определитель матрицы должен быть отличным от нуля (0), поскольку он участвует в формуле в качестве знаменателя. Если бы знаменатель был равен нулю (0), мы имели бы неопределенность.
Если знаменатель (ad - bc) = 0, то есть определитель матрицы X равен нулю (0), то матрица X не имеет обратной матрицы.
Имущество
Квадратная матрица X порядка n будет иметь обратную матрицу X порядка n, X-1, так что он выполняет это
Порядок элементов умножения не имеет значения, то есть умножение любой квадратной матрицы на ее обратную матрицу всегда приводит к единичной матрице того же порядка.
В этом случае порядок матрицы X равен 2. Итак, мы можем переписать предыдущее свойство как:
Практический пример
Найдите обратную матрицу матрицы V.
Чтобы решить этот пример, мы можем применить формулу или сначала вычислить определитель, а затем подставить его.
Формула
Формула с определителем
Сначала вычисляем определитель матрицы V, а затем подставляем его в формулу.
Итак, мы получаем, что определитель матрицы V отличен от нуля (0), и мы можем сказать, что матрица V действительно имеет обратную матрицу.
Тот же результат мы получаем, используя формулу или сначала вычисляя определитель, а затем подставляя его.
Порядок обратной матрицы такой же, как порядок исходной матрицы. В этом случае у нас будет одинаковое количество строк n и столбцов m как в матрице V, так и в V-1.
Транспонированная матрица