Функциональные уравнения - это уравнения, для которых неизвестна другая функция. Функция, которая может быть связана с алгебраической операцией, такой как сложение, вычитание, деление, умножение, степень или корень.
Функциональные уравнения также могут быть определены как уравнения, которые нелегко свести к алгебраической функции типа f (x) = 0 по своему разрешению.
Функциональные уравнения характеризуются отсутствием единого способа их решения. Кроме того, рассматриваемая переменная может принимать разные значения (мы увидим это на примерах).
Примеры функциональных уравнений
Вот некоторые примеры функциональных уравнений:
f (xy) = f (x). f (y)
f (x2+ и2) = f (ху)2/2
е (х) = е (х + 3) / х
В случаях, подобных предыдущим, можно добавить, например, что x принадлежит множеству действительных чисел, то есть x ∈ R (ноль можно исключить).
Примеры функциональных уравнений
Давайте посмотрим на несколько примеров решаемых функциональных уравнений:
е (1 / 2х) = х-3f (х)
Итак, если я заменю x на 1 / 2x:
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (х) = 3х- (1 / 2х)
f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)
Теперь давайте посмотрим на другой пример, который немного сложнее, но мы будем действовать аналогичным образом:
Икс2f (x) -f (5-x) = 3x… (1)
В этом случае мы сначала решаем f (5-x)
е (5-х) = х2f (x) -3x… (2)
Теперь я заменяю x на 5-x в уравнении 1:
(5-х)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25-10x + x2) .f (5-x) -f (x) = 15-3x
Мы помним, что f (5-x) находится в уравнении 2:
(25-10x + x2). (Икс2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f (x) + 30x2+ х4f (x) -3x3-f (х) = 15-3x
f (х) (х4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72x
f (x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
Функциональное уравнение Коши
Функциональная функция Коши - одна из самых простых в своем роде. Это уравнение имеет следующий вид:
е (х + у) = е (х) + е (у)
Предполагая, что x и y находятся в наборе рациональных чисел, решение этого уравнения говорит нам, что f (x) = cx, где c - любая константа, и то же самое происходит с f (y).