Точка перегиба - Что это такое, определение и понятие

Точка перегиба математической функции - это точка, в которой график, представляющий ее, изменяет свою вогнутость. То есть он из вогнутого становится выпуклым или наоборот.

Другими словами, точка перегиба - это момент, когда функция меняет тренд.

Чтобы получить представление, давайте начнем с графического представления, примерно:

Следует отметить, что функция может иметь более одной точки перегиба или не иметь вообще. Например, линия не имеет точки перегиба.

Давайте посмотрим на следующем графике пример функции с более чем одной точкой перегиба:

Кроме того, с математической точки зрения точка перегиба рассчитывается путем установки второй производной функции равной нулю. Таким образом, мы решаем корень (или корни) этого уравнения и назовем его Xi.

Затем заменим Xi в третьей производной функции. Если результат отличен от нуля, мы сталкиваемся с точкой перегиба.

Однако, если результат равен нулю, мы должны заменить в последовательных производных, пока значение этой производной, будь то третья, четвертая или пятая, не станет отличным от 0. Если производная нечетная, это точка перегиба, но если даже нет.

Пример поворотной точки

Далее рассмотрим пример.

Предположим, у нас есть следующая функция:

у = 2x⁴+ 5x³+ 9x + 14

y ’= 8x³+ 15x²+9

y »= 24x²+ 30x = 0

24x = -30

Xi = -1,25

Затем заменим Xi в третьей производной:

y »’ = 48x

y »’ = 48x-1,25 = -60

Поскольку результат отличен от нуля, мы оказываемся перед точкой перегиба, которая будет, когда x равно -1,25, а y равно -2,1328, как показано на следующем графике.

При этом наблюдается, что функция имеет точку перегиба:

Теперь давайте посмотрим на другой пример:

у = х⁴-54x²

y ’= 4x³-108x

y »= 12x²-108=0

Икс²=9

Xi = 3 и -3

Затем мы заменяем два корня, найденные в третьей производной:

y »’ = 24x

y »’ = 24 × 3 = 72

y »’ = 24x-3 = -72

Поскольку результат отличен от нуля, у нас есть две точки перегиба в (3,567) и (-3,567).

Чтобы дополнить информацию, мы приглашаем вас посетить статью о перегибах, в которой мы рассмотрим эту концепцию в более общем виде: