Биномиальное распределение - это дискретное распределение вероятностей, которое описывает количество успехов при проведении n независимых экспериментов со случайной величиной..
Существует большое разнообразие экспериментов или событий, которые можно охарактеризовать с помощью этого распределения вероятностей. Представьте себе подбрасывание монеты, в котором мы определяем событие «попадание орла» как успех. Если мы подбросим монету 5 раз и посчитаем количество попаданий (орлов), которые мы получим, наше распределение вероятностей будет соответствовать биномиальному распределению.
Следовательно, биномиальное распределение понимается как серия тестов или испытаний, в которых мы можем иметь только 2 результата (успех или неудача), причем успех является нашей случайной величиной.
Свойства биномиального распределения
Для того чтобы случайная величина рассматривалась как подчиняющаяся биномиальному распределению, она должна соответствовать следующим свойствам:
- В каждом испытании, эксперименте или тесте возможны только два результата (успех или неудача).
- Вероятность успеха должна быть постоянной. Это обозначается буквой p. Вероятность того, что выпадет орел, равна 0,5, и она постоянна, поскольку монета не меняется в каждом эксперименте, а вероятность выпадения орла постоянна.
- Вероятность отказа также должна быть постоянной. Это обозначается буквой q = 1-p. Важно отметить, что с помощью этого уравнения, зная p или зная q, мы можем получить то, что нам не хватает.
- Результат, полученный в каждом эксперименте, не зависит от предыдущего. Следовательно, то, что происходит в каждом эксперименте, не влияет на последующие.
- События являются взаимоисключающими, то есть они не могут происходить одновременно. Невозможно быть мужчиной и женщиной одновременно или чтобы при подбрасывании монеты она выпадала орлом и решкой одновременно.
- Все события являются исчерпывающими, то есть, по крайней мере, одно из двух должно произойти. Если вы не мужчина, вы женщина, и если вы подбрасываете монету, если она не выпадает орлом, значит, это решка.
- Случайная величина, которая следует биномиальному распределению, обычно представлена как X ~ (n, p), где n представляет количество испытаний или экспериментов, а p вероятность успеха.
Формула биномиального распределения
Формула для расчета нормального распределения:
Где:
n = Количество испытаний / экспериментов
x = Количество успехов
p = вероятность успеха
q = вероятность отказа (1-p)
Важно отметить, что выражение в квадратных скобках не является матричным выражением, а является результатом комбинаторного действия без повторения. Это получается по следующей формуле:
Восклицательный знак в предыдущем выражении представляет собой факториал.
Пример биномиального распределения
Представим, что 80% людей в мире видели финальный матч последнего чемпионата мира по футболу. После мероприятия 4 друга встречаются, чтобы поговорить. Какова вероятность, что 3 из них видели игру?
Определим переменные эксперимента:
n = 4 (это общая выборка, которая у нас есть)
x = количество успехов, которое в данном случае равно 3, поскольку мы ищем вероятность того, что 3 из 4 друзей видели это.
p = вероятность успеха (0,8)
q = вероятность отказа (0,2). Этот результат получается вычитанием 1-р.
После определения всех наших переменных мы просто подставляем их в формулу.
Числитель факториала будет получен умножением 4 * 3 * 2 * 1 = 24, а в знаменателе мы получим 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Следовательно, результат факториала будет 24/6 = 4 .
За пределами скобки у нас есть два числа. Первый будет 0,8 3 = 0,512, а второй - 0,2 (поскольку 4-3 = 1 и любое число, увеличенное до 1, одинаково).
Следовательно, наш окончательный результат будет: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Если мы умножим на 100, мы получим 40,96% вероятность того, что 3 из 4 друзей видели финальный матч чемпионата мира по футболу.