Теорема Гаусса-Маркова - это набор предположений, которым должна соответствовать оценка OLS (Ordinary Least Squares), чтобы считаться ELIO (Оптимальной линейной несмещенной оценкой). А ТАКЖЕТеорема Гаусса-Маркова была сформулирована Карлом Фридрихом Гауссом и Андреем Марковым.
Карл Фридрих Гаусс и Андрей Марков сделали некоторые допущения, чтобы оценщик OLS мог стать ELIO.
Если эти 5 предположений выполнены, мы можем утверждать, что оценка является той, которая имеет минимальную дисперсию (наиболее точную) среди всех линейных и несмещенных оценок. В случае, если какое-либо из предположений первых трех не срабатывает (линейность, строгая экзогенность с нулевым средним или нет идеальной мультиколлинеарности), оценка МНК перестает быть беспристрастной. Если только 4 или 5 не дают результата (гомоскедастичность и отсутствие автокорреляции), оценка остается линейной и несмещенной, но уже не самой точной. Подводя итог, теорема Гаусса-Маркова утверждает, что:
- При предположениях 1, 2 и 3 оценка МНК является линейной и несмещенной. Теперь, если не выполняются первые три допущения, можно гарантировать, что оценка будет беспристрастной. Чтобы оценщик был непротиворечивым, у нас должна быть большая выборка, и чем больше, тем лучше.
- При предположениях 1, 2, 3, 4 и 5 оценка OLS является линейной, несмещенной и оптимальной (ELIO).
Предположения теоремы Гаусса-Маркова
В частности, есть 5 предположений:
1. Линейная модель в параметрах
Это довольно гибкое предположение. Это позволяет использовать функции интересующих переменных.
2. Нулевое среднее и строгая экзогенность
Это означает, что среднее значение ошибки, обусловленной объяснениями, равно безусловному ожидаемому значению и равно нулю. Кроме того, строгая экзогенность требует, чтобы ошибки модели не коррелировали с какими-либо наблюдениями.
Нулевое значение:
Строгая экзогенность:
Нулевое среднее и строгая экзогенность не работают, если:
- Модель плохо определена (например, отсутствие соответствующих переменных).
- В переменных есть ошибки измерения (данные не проверялись).
- Во временных рядах строгая экзогенность не работает в моделях отсроченной эндогенности (хотя может существовать одновременная экзогенность) и в случаях, когда есть эффекты обратной связи.
В данных поперечного сечения гораздо легче добиться предположения об экзогенности, чем в случае временных рядов.
3. Нет точной мультиколлинеарности
В выборке ни одна из независимых переменных не является постоянной. Между независимыми переменными нет точных линейных отношений. Это не исключает некоторой (не идеальной) корреляции между переменными. Согласно Гауссу и Маркову, когда модель имеет точную мультиколлинеарность, это обычно происходит из-за ошибки аналитика.
4. Гомоскедастичность.
Дисперсия ошибки и, следовательно, Y не зависит от поясняющих значений и, кроме того, дисперсии постоянной ошибки. Математически это выражается как:
Вот серия данных с гомоскедастической внешностью.
5. Нет автокорреляции
Погрешности двух разных наблюдений, обусловленных X, не связаны. Если выборка случайная, автокорреляции не будет.
Где у меня должно быть значение, отличное от h. Если выборка является случайной, данные и ошибки наблюдения «i» и «h» будут независимыми для любой пары наблюдений «i» и «h».
