Производная экспоненциальной функции равна производной экспоненты, умноженной на исходную функцию и натуральный логарифм основания.
То есть, говоря математическим языком, у нас была бы следующая формула:
В приведенной выше функции z - это основание, а y - это функция от x, производная которой может быть вычислена, как описано в нашей статье о производной функции.
Мы должны помнить, что производная - это математическая функция, которая позволяет нам вычислить скорость изменения (зависимой) переменной. Это когда изменение зарегистрировано в другой переменной (которая будет независимой), которая влияет на нее.
Случаи показательной функции
Экспоненциальная функция представляет два частных случая:
- Когда показатель степени равен x, производная этого показателя равна 1. Следовательно, производная экспоненты равна той же функции, умноженной на натуральный логарифм основания, как мы видим ниже:
- Когда в качестве основания используется константа e, ее натуральный логарифм равен 1. Следовательно, производная экспоненциальной функции будет равна производной экспоненты, умноженной на исходную функцию.
Примеры производной экспоненциальной функции
Давайте посмотрим на несколько проработанных примеров экспоненциальной функции:
А теперь второй пример посложнее:
Теперь давайте посмотрим на пример, в котором показатель степени является тригонометрической функцией:
