Серия Тейлора - Что это такое, определение и концепция

Ряд Тейлора - это серия степеней, которая простирается до бесконечности, где каждое из слагаемых возводится в степень, большую, чем предыдущая.

Каждый элемент ряда Тейлора соответствует n-й производной функции f, вычисленной в точке a, между факториалом n (n!), И все это, умноженное на x-a в степени n.

Формально или математически ряд Тейлора имеет следующий вид:

Чтобы лучше понять ряд Тейлора, мы должны иметь в виду, что a - это точка на прямой, касающейся функции f. Указанная линия, в свою очередь, может быть выражена как линейная функция, наклон которой совпадает с наклоном функции f в точке а.

Еще один аспект, который следует иметь в виду, заключается в том, что f является дифференцируемой функцией n раз в точке a. Если n бесконечно, это бесконечно дифференцируемая функция.

В частном случае, когда a = 0, ряд также называют рядом МакЛорина.

Разница между рядами и полиномом Тейлора

Разница между серией и полиномом Тейлора состоит в том, что в первом случае мы говорим о бесконечной последовательности, а во втором - о конечной серии.

Таким образом, полином Тейлора можно определить как полиномиальное приближение функции, дифференцируемой n раз в определенной точке (a).

Примеры серии Тейлора

Вот некоторые примеры вариаций ряда Тейлора:

• Экспоненциальная функция:

• Тригонометрические функции:

Приложения серии Тейлора

Некоторые приложения серии Тейлора:

• Анализ пределов.
• Анализ стационарных точек или точек стула в функциях.
• Применение в теореме Лопиталя (для решения пределов).
• Интегральная оценка.
• Оценка сходимостей и расходимостей определенных рядов.
• Анализ финансовых активов и продуктов, когда цена выражается нелинейной функцией.