Ряд Тейлора - это серия степеней, которая простирается до бесконечности, где каждое из слагаемых возводится в степень, большую, чем предыдущая.
Каждый элемент ряда Тейлора соответствует n-й производной функции f, вычисленной в точке a, между факториалом n (n!), И все это, умноженное на x-a в степени n.
Формально или математически ряд Тейлора имеет следующий вид:
Чтобы лучше понять ряд Тейлора, мы должны иметь в виду, что a - это точка на прямой, касающейся функции f. Указанная линия, в свою очередь, может быть выражена как линейная функция, наклон которой совпадает с наклоном функции f в точке а.
Еще один аспект, который следует иметь в виду, заключается в том, что f является дифференцируемой функцией n раз в точке a. Если n бесконечно, это бесконечно дифференцируемая функция.
В частном случае, когда a = 0, ряд также называют рядом МакЛорина.
Разница между рядами и полиномом Тейлора
Разница между серией и полиномом Тейлора состоит в том, что в первом случае мы говорим о бесконечной последовательности, а во втором - о конечной серии.
Таким образом, полином Тейлора можно определить как полиномиальное приближение функции, дифференцируемой n раз в определенной точке (a).
Примеры серии Тейлора
Вот некоторые примеры вариаций ряда Тейлора:
- Экспоненциальная функция:
- Тригонометрические функции:
Приложения серии Тейлора
Некоторые приложения серии Тейлора:
- Анализ пределов.
- Анализ стационарных точек или точек стула в функциях.
- Применение в теореме Лопиталя (для решения пределов).
- Интегральная оценка.
- Оценка сходимостей и расходимостей определенных рядов.
- Анализ финансовых активов и продуктов, когда цена выражается нелинейной функцией.
