Модуль вектора и теорема Пифагора

Модуль вектора - это длина сегмента, ориентированного в пространстве, которая определяется двумя точками и их порядком.

Другими словами, модуль вектора - это длина между началом и концом вектора, то есть там, где стрелка начинается и где она заканчивается.

Для любого двумерного вектора:

Информация, которую дают нам координаты вектора, то есть vx и vy, является его длиной для оси x и длиной для оси y, соответственно.

Итак, если мы знаем координаты, мы можем вычислить модуль вектора.

Модуль вектора и теорема Пифагора

Не напоминает ли вам предыдущий рисунок геометрическую фигуру?

Точно, мы можем представить, что оси координат рядом с вектором образуют прямоугольник с основанием vx и высотой vy. Мы можем разделить этот прямоугольник на два симметричных треугольника, то есть они будут иметь одинаковое основание и высоту.

Треугольник, заштрихованный синим цветом, имеет основание vx и высоту vy. Итак, зная эту информацию, мы можем узнать ее гипотенузу. Для этих вычислений используется очень известная теорема, известная как теорема Пифагора.

Демонстрация

Мы знаем, что формула Пифагора выглядит следующим образом:

Где h - гипотенуза, c - один катет, а c - другой катет.

В нашем случае мы знаем, сколько стоят наши ноги, то есть основание и рост. Итак, мы можем вставить эту информацию в уравнение:

Приступаем к удалению квадрата h, применяя квадратный корень:

Если мы скажем, что vx = 3 и vy = 6:

Следовательно, если бы v был вектором с координатами (3,6), то мы бы знали, что его модуль равен 6,7082. Точно, его модуль, потому что формула для модуля любого вектора v:

Мы видим, что именно та информация, которой нам не хватает в уравнении, совпадает с гипотенузой. Другими словами, длина вектора - это то, что мы хотим вычислить, а гипотенуза - это диагональ треугольника. Следовательно, мы можем сделать вывод, что использование теоремы Пифагора для вычисления модуля вектора является допустимым методом.

Итак, если нам нужно вычислить модуль вектора, а мы не помним формулу, мы можем подумать о теореме Пифагора и решить проблему.

Упражнение решено

Вычислите модуль вектора v с координатами (-3, -6), применяя теорему Пифагора.

Модуль вектора v с координатами (-3,6), вычисленный по формуле теоремы Пифагора, также равен 6,7082.