Симметричная матрица - это матрица порядка n с тем же количеством строк и столбцов, где ее транспонированная матрица равна исходной матрице.
Другими словами, симметричная матрица является квадратной матрицей и идентична матрице после замены строк на столбцы и столбцов на строки.
Требования
Чтобы любая матрица была симметричной, она должна удовлетворять следующим ограничениям:
Учитывая симметричную матрицу п порядка n,
- Быть квадратная матрица.
Количество строк (n) должно быть таким же, как количество столбцов (m). То есть порядок матрицы должен быть n при n = m.
- Исходная матрица должна быть равна ее транспонированная матрица.
Демонстрация:
Характеристики
- Сопряженная матрица симметричной матрицы также является симметричной матрицей.
Демонстрация:
- Сложение или вычитание двух симметричных матриц приводит к другой симметричной матрице.
Демонстрация:
Для двух симметричных матриц п Y Т порядка 3, получаем другую симметричную матрицу S от суммы.
Почему это называется симметричной матрицей?
Свойство симметрии придают элементы вокруг главной диагонали. Поскольку квадратная матрица является симметричной матрицей, она всегда будет иметь одинаковое количество элементов выше и ниже главной диагонали. Эти элементы одинаковы симметрично. То есть главная диагональ действует как зеркало.
Доказательство симметрии и асимметрии матрицы
Симметричная матрица
Письмо d представляет собой элементы главной диагонали. Остальные буквы обозначают любое действительное число. Мы видим, что главная диагональ действует как зеркало: она отражает элементы с обеих сторон. Другими словами, когда элементы по обе стороны от диагонали симметрично равны, мы говорим, что матрица п является симметричной матрицей.
Несимметричная матрица
Матрица Икс Это несимметричная матрица, поскольку это не квадратная матрица, и ее транспонированная матрица отличается от исходной матрицы. К тому же у него нет и главной диагонали.
Единичная матрица