Распределение Пуассона - это дискретное распределение вероятностей, которое моделирует частоту определенных событий в течение фиксированного интервала времени на основе средней частоты возникновения этих событий.
Другими словами, распределение Пуассона - это дискретное распределение вероятностей, которое, только зная события и их среднюю частоту возникновения, мы можем узнать их вероятность.
Выражение распределения Пуассона
Для дискретной случайной величины X мы говорим, что ее частота может быть удовлетворительно приближена к распределению Пуассона, так что:
В отличие от нормального распределения, распределение Пуассона зависит только от одного параметра, mu (отмечен желтым).
Mu сообщает ожидаемое количество событий, которые произойдут в заданный интервал времени. Когда мы говорим о чем-то «ожидаемом», мы должны перенаправить это, чтобы подумать о среднем значении. Следовательно, mu - это среднее значение частоты событий.
И среднее, и дисперсия этого распределения строго положительны.
Представление
Учитывая распределение Пуассона со средним значением 2, распределение вероятности плотности выглядит следующим образом:
Функция определена только для целых значений x.
Не все распределения вероятностей плотности Пуассона будут выглядеть одинаково, даже если мы сохраним выборку той же самой. Если мы изменим среднее значение, то есть параметр, от которого зависит функция, функция также изменится.
Функция плотности вероятности (pdf)
Под этой функцией понимается вероятность того, что случайная величина X примет конкретное значение x. Это экспонента отрицательного среднего, умноженная на среднее значение, полученное при наблюдении, и все, разделенное на факториал наблюдения.
Как указано, чтобы узнать вероятность каждого наблюдения, нам нужно будет подставить все наблюдения в функцию. Другими словами, x - это вектор размерности n, который содержит все наблюдения случайной величины X. Среднее значение также будет вектором, но одного измерения, так что:
Когда у нас есть рассчитанные вероятности, вместе с наблюдениями мы можем нарисовать распределение плотности вероятности.
Сказка
Название этого распределения происходит от его создателя, Симеона-Дени Пуассона (1781-1840), французского математика и философа, который хотел смоделировать частоту событий в течение фиксированного промежутка времени. Он также участвовал в совершенствовании закона больших чисел.
Приложение
Распределение Пуассона используется в области операционного риска для моделирования ситуаций, в которых возникают операционные убытки. В случае рыночного риска процесс Пуассона используется для определения времени ожидания между финансовыми транзакциями в высокочастотных базах данных. Также кредитный риск учитывается при моделировании количества банкротств.
Пример
Мы предполагаем, что сейчас зимний сезон и мы хотим покататься на лыжах до декабря. Вероятность открытия горнолыжных курортов до декабря - 5%. Мы хотим знать вероятность того, что ближайший из 100 горнолыжных курортов откроется до декабря. Оценка этого горнолыжного курорта - 6 баллов.
Входными данными, необходимыми для вычисления функции вероятности плотности Пуассона, являются набор данных и mu:
- Набор данных = 100 горнолыжных курортов.
- Mu = 5% * 100 = 5 - ожидаемое количество горнолыжных курортов с учетом набора данных.
Таким образом, ближайшая станция с вероятностью 14,62% откроется до декабря.
Вероятность частоты