Матрица дисперсии-ковариации представляет собой квадратную матрицу размерности nxm, которая собирает дисперсии по главной диагонали и ковариации в элементах за пределами главной диагонали.
Другими словами, матрица дисперсии-ковариации - это матрица, которая имеет одинаковое количество строк и столбцов, дисперсию, распределенную по главной диагонали, и ковариации по элементам за пределами главной диагонали.
КовариацияМатричное представление
Матрица дисперсии-ковариации обычно выражается как
Хотя кажется, что это символ суммирования и что он не имеет отношения к матрице дисперсии-ковариации, эта греческая буква прекрасно представляет содержание этой матрицы.
Чтобы понять это, давайте сначала посмотрим на его выражение:
Зная, что есть м столбцы, многоточие означает, что столбцы между вторым и последним столбцами были пропущены. Точно так же, зная, что есть п строк многоточие указывает на то, что строки между второй и последней строками были пропущены.
В этом случае мы используем сигму для представления ковариаций и сигму в квадрате для дисперсий. В качестве примера:
Какая греческая буква присутствует во всех элементах матрицы? Сигма.
Таким образом, логично, что для определения ковариационно-дисперсионной матрицы также используется сигма.
Греческая буква
капитальная форма
Итак, если мы вспомним, что матрица дисперсии-ковариации выражается в верхнем регистре сигмы, будет легче запомнить ее определение.
Требования к тому, чтобы это была ковариационно-дисперсионная матрица
Требования к матрице, которая будет ковариационной дисперсией, следующие:
- Квадратная матрица: такое же количество строк (n), что и столбцов (m), тогда n = m, и, следовательно, размер этой матрицы может быть выражен как nxm, так и nxn.
- в главная диагональ Существуют отклонения:
- С главной диагонали Существуют ковариации:
Приложение
Матрица дисперсии-ковариации очень популярна в эконометрике, поскольку она используется, в основном, в матричном вычислении коэффициентов линейной регрессии с использованием обыкновенных наименьших квадратов, среди прочего.
В финансах он используется для получения общей картины волатильности финансовых активов.
Математическое выражение дисперсии и ковариации
Математика выражается следующим образом:
- Ковариация элемента n = 1 и m = 2
- Дисперсия элемента n = 1 и m = 1
И дисперсию, и ковариацию можно исправить. То есть знаменатель n-1 вместо n. Это связано со степенями свободы и зависит от того, говорим ли мы о дисперсиях и ковариациях генеральной совокупности или выборки.