Ожидаемое значение случайной величины - это концепция, аналогичная математической алгебре, которая рассматривает среднее арифметическое набора наблюдений указанной переменной.
Другими словами, ожидаемое значение случайной величины - это значение, которое чаще всего встречается при многократном повторении эксперимента.
Свойства ожидаемых значений случайной величины
У математического ожидания случайной величины есть три свойства, которые мы развиваем ниже:
Свойство 1
Для любой константы g ожидаемое значение этой константы будет выражено как E (g) и будет той же константой g. Математически:
E (g) = g
Поскольку g является константой, то есть не зависит от какой-либо переменной, ее значение останется прежним.
Пример
Какое ожидаемое значение 1? Другими словами, какое значение мы присваиваем числу 1?
E (1) =?
Точнее, мы присваиваем значение 1 числу 1, и его значение не изменится независимо от того, сколько лет пройдут или случатся стихийные бедствия. Итак, мы имеем дело с постоянной переменной и поэтому:
E (1) = 1 или E (g) = g
Они могут попробовать другие числа.
Свойство 2
Для любых констант h и k ожидаемое значение линии h · X + k будет равно константе h, умноженной на математическое ожидание случайной величины X плюс константа k. Математически:
E (h X + k) = h E (X) + k
Присмотритесь, разве это не напоминает вам об очень известном натурале? Собственно, линия регрессии.
Если заменить:
E (hX + k) = Y
Е (Х) = Х
k = B0
h = B1
Есть:
Y = B0 + B1Икс
Когда коэффициенты B оцениваются0 , B1 , то есть B0 , B1 , они остаются неизменными для всей выборки. Итак, мы применяем свойство 1:
E (B0) = B0
E (B1) = B1
Здесь мы также находим свойство непредвзятости, то есть ожидаемое значение оценщика равно его значению для генеральной совокупности.
Возвращаясь к E (h · X + k) = h · E (X) + k, важно помнить, что Y есть E (h · X + k), делая выводы из линий регрессии. Другими словами, можно сказать, что когда X увеличивается на единицу, Y увеличивается на половина h единиц, поскольку Y - математическое ожидание строки h · X + k.
Свойство 3
Если H - вектор констант, а X - вектор случайных величин, то ожидаемое значение может быть выражено как сумма ожидаемых значений.
H = (h1 , ч2, , …, чп)
X = (X1 , ИКС2, ,…, ИКСп)
Привет1Икс1 + ч2Икс2 +… + HпИксп) = h1·БЫВШИЙ1) + h2·БЫВШИЙ2) +… + Hп·БЫВШИЙп)
Выражается в суммах:
Это свойство очень полезно для выводов в области математической статистики.