Свойства ожидаемых значений

Ожидаемое значение случайной величины - это концепция, аналогичная математической алгебре, которая рассматривает среднее арифметическое набора наблюдений указанной переменной.

Другими словами, ожидаемое значение случайной величины - это значение, которое чаще всего встречается при многократном повторении эксперимента.

Свойства ожидаемых значений случайной величины

У математического ожидания случайной величины есть три свойства, которые мы развиваем ниже:

Свойство 1

Для любой константы g ожидаемое значение этой константы будет выражено как E (g) и будет той же константой g. Математически:

E (g) = g

Поскольку g является константой, то есть не зависит от какой-либо переменной, ее значение останется прежним.

Пример

Какое ожидаемое значение 1? Другими словами, какое значение мы присваиваем числу 1?

E (1) =?

Точнее, мы присваиваем значение 1 числу 1, и его значение не изменится независимо от того, сколько лет пройдут или случатся стихийные бедствия. Итак, мы имеем дело с постоянной переменной и поэтому:

E (1) = 1 или E (g) = g

Они могут попробовать другие числа.

Свойство 2

Для любых констант h и k ожидаемое значение линии h · X + k будет равно константе h, умноженной на математическое ожидание случайной величины X плюс константа k. Математически:

E (h X + k) = h E (X) + k

Присмотритесь, разве это не напоминает вам об очень известном натурале? Собственно, линия регрессии.

Если заменить:

E (hX + k) = Y

Е (Х) = Х

k = B₀

h = B₁

Есть:

Y = B₀ + B₁Икс

Когда коэффициенты B оцениваются₀ , B₁ , то есть B₀ , B₁ , они остаются неизменными для всей выборки. Итак, мы применяем свойство 1:

E (B₀) = B₀

E (B₁) = B₁

Здесь мы также находим свойство непредвзятости, то есть ожидаемое значение оценщика равно его значению для генеральной совокупности.

Возвращаясь к E (h · X + k) = h · E (X) + k, важно помнить, что Y есть E (h · X + k), делая выводы из линий регрессии. Другими словами, можно сказать, что когда X увеличивается на единицу, Y увеличивается на половина h единиц, поскольку Y - математическое ожидание строки h · X + k.

Свойство 3

Если H - вектор констант, а X - вектор случайных величин, то ожидаемое значение может быть выражено как сумма ожидаемых значений.

H = (h₁ , ч_2, , …, ч_п)

X = (X₁ , ИКС_2, ,…, ИКС_п)

Привет₁Икс₁ + ч₂Икс₂ +… + H_пИкс_п) = h₁·БЫВШИЙ₁) + h₂·БЫВШИЙ₂) +… + H_п·БЫВШИЙ_п)

Выражается в суммах:

Это свойство очень полезно для выводов в области математической статистики.