Модели равновесия процентных ставок - это модели равновесия, основанные на броуновском геометрическом процессе и нейтральности к риску краткосрочных процентных ставок.
Другими словами, модели равновесных процентных ставок используют краткосрочные процентные ставки для расчета будущих процентных ставок с учетом временной структуры процентных ставок.
В качестве ориентира для краткосрочных процентных ставок мы будем использовать процентные ставки облигации с нулевым купоном. Примером могут служить казначейские векселя Испании, выпущенные на короткий срок.
Рекомендуемые позиции: облигация с нулевым купоном, опцион и возврат к среднему значению.
Временная структура цен облигаций с нулевым купоном получается из броуновского геометрического процесса, который фиксирует бесконечно малые изменения краткосрочных процентных ставок.
Цены на облигации с нулевым купоном используются для оценки цены опционов на облигации с нулевым купоном и опционов на купонные облигации.
Итак, для расчета будущих цен на облигации с нулевым купоном нам нужны краткосрочные процентные ставки с нулевым купоном. Таким образом, мы также можем построить кривую или временную структуру процентных ставок с нулевым купоном. Получив кривую, мы можем определить эволюцию долгосрочных процентных ставок с учетом краткосрочных процентных ставок.
Срочная структура или кривая процентных ставок облигаций с нулевым купоном, рассчитанная по модели Васичека:
Допущения модели равновесия относительно процентных ставок
Допущения модели:
- Риск-нейтралитет.
Мы принимаем нейтральный риск как классическое допущение при оценке активов на финансовых рынках. Это предположение является ключевым для получения цены облигации с использованием моделирования Монте-Карло.
- Логнормальное распределение облигаций и процентных ставок.
Мы предполагаем логнормальное распределение, поскольку мы представляем процентные ставки как положительную переменную, такую как цены облигаций. Нет смысла оценивать облигации с отрицательной ценой. Предполагая логнормальное распределение процентных ставок, мы можем сказать, что процентные ставки будут следовать броуновскому геометрическому процессу. Если бы распределение процентных ставок было нормальным распределением, то мы бы сказали, что процентные ставки следуют броуновскому арифметическому процессу.
Однофакторные модели равновесия
Однофакторные модели равновесия - это модели для расчета временной структуры процентных ставок на основе краткосрочных процентных ставок.
Мы говорим об одном факторе, поскольку риск или неопределенность определяется одним фактором: волатильностью процентных ставок. Существуют двухфакторные модели равновесия, которые предоставляют больше возможностей для изменения процентных ставок.
Математически мы определяем однофакторную модель равновесия вида:
Где,
- r (t): краткосрочные процентные ставки в момент времени t.
- dr: изменение процентных ставок (r) с течением времени (dt).
- dt: течение времени = эволюция времени.
- m (r) dt: направление или тренд (m) процентных ставок (r) с течением времени (dt).
- s (r): стандартное отклонение процентных ставок (r).
- dZ: случайная составляющая или возмущение, которое следует нормальному распределению со средним значением 0 и дисперсией 1.
Вышеприведенное выражение известно как стохастическое дифференциальное уравнение выражается через процесс Ито.
Типы моделей
Наиболее распространенными однофакторными моделями равновесия являются:
- Модель Рендлемана и Барттера.
- Модель Васичека.
- Модель Кокса, Ингресолла и Росса.