Линейная комбинация векторов возникает, когда вектор может быть выражен как линейная функция других векторов, которые линейно независимы.
Другими словами, линейная комбинация векторов состоит в том, что вектор может быть выражен как линейная комбинация других векторов, которые линейно независимы друг от друга.
Требования к линейной комбинации векторов
Линейная комбинация векторов должна соответствовать двум требованиям:
- Что вектор может быть выражен как линейная комбинация других векторов.
- Пусть эти другие векторы линейно независимы друг от друга.
Линейная комбинация в исчислении
В базовой математике мы часто видим линейные комбинации, не осознавая этого. Например, строка - это комбинация одной переменной по отношению к другой, такая что:
Но корни, логарифмы, экспоненциальные функции … больше не являются линейными комбинациями, поскольку пропорции не остаются постоянными для всей функции:
Итак, если мы говорим о линейной комбинации векторов, структура уравнения будет иметь следующий вид:
Поскольку мы говорим о векторах, а предыдущее уравнение относится к переменным, для построения комбинации векторов нам нужно только заменить переменные векторами. Пусть следующие векторы будут:
Итак, мы можем записать их как линейную комбинацию следующим образом:
Векторы линейно независимы друг от друга.
Греческая буква лямбда действует как параметр м в общем уравнении линии. Лямбда будет любым действительным числом, и, если оно не появляется, его значение считается равным 1.
То, что векторы являются линейно независимыми, означает, что ни один из векторов не может быть выражен как линейная комбинация других. Известно, что независимые векторы образуют основу пространства, и зависимый вектор также принадлежит этому пространству.
Пример параллелепипеда
Мы предполагаем, что у нас есть три вектора, и мы хотим выразить их как линейную комбинацию. Мы также знаем, что каждый вектор происходит из одной и той же вершины и составляет абсциссу этой вершины. Геометрическая фигура представляет собой параллелепипед. Поскольку они сообщают нам, что геометрическая фигура, которую образуют эти векторы, является абсциссой параллелепипеда, то векторы ограничивают грани фигуры.
Во-первых, мы должны знать, являются ли векторы линейно зависимыми. Если векторы линейно зависимы, то из них нельзя составить линейную комбинацию.
Три вектора:
Как мы можем узнать, являются ли векторы линейно зависимыми, если они не дают нам информации о своих координатах?
Ну, используя логику. Если бы векторы были линейно зависимыми, то все грани параллелепипеда схлопнулись. Другими словами, они были бы такими же.
Следовательно, мы можем выразить новый вектор ш в результате линейной комбинации предыдущих векторов:
Вектор, представляющий комбинацию предыдущих векторов:
Графически:
