Полином Тейлора - это полиномиальная аппроксимация функциип раз можно получить в определенной точке.
Другими словами, полином Тейлора - это конечная сумма локальных производных, вычисленных в определенной точке.
Математически
Мы определяем:
f (x): функция Икс.
f (x0): функцияИксв определенной точке x0. Формально написано:
F(п)(Икс):п-я производная функции f (x).
Приложения
Расширение Тейлора обычно применяется к финансовым активам и продуктам, цена которых выражается как нелинейная функция. Например, цена краткосрочной долговой ценной бумаги является нелинейной функцией, которая зависит от процентных ставок. Другим примером могут быть варианты, в которых факторы риска и прибыльность являются нелинейными функциями. Расчет дюрации облигации - это полином Тейлора первой степени.
Пример полинома Тейлора
Мы хотим найти второй порядок тейлоровского приближения функции f (x) в точке x0=1.
1. Сделаем соответствующие производные функции f (x).
В этом случае нас спрашивают до второго порядка, поэтому мы сделаем первую и вторую производные функции f (x):
- Первая производная:
- Вторая производная:
2. Подставляем x0= 1 в f (x), f '(x) и f' '(x):
3. Как только у нас есть значение производных в точке x0= 1, подставляем в приближение Тейлора:
Немного зафиксируем многочлен:
Проверка значений
Приближение Тейлора будет адекватным, чем ближе к x0 быть ценностями. Чтобы проверить это, подставим значения, близкие к x0 как в исходной функции, так и в приведенном выше приближении Тейлора:
Когда х0=1
Исходная функция:
Приближение Тейлора:
Когда х0=1,05
Исходная функция:
Приближение Тейлора:
Когда х0=1,10
Исходная функция:
Приближение Тейлора:
В первом случае, когда x0= 1, мы видим, что и исходная функция, и приближение Тейлора дают один и тот же результат. Это связано с составом полинома Тейлора, который мы создали с помощью локальных производных. Эти производные были оценены в определенной точке x0= 1, чтобы получить значение и создать многочлен. Таким образом, чем дальше от этой точки, x0= 1, тем менее подходящим будет приближение для исходной нелинейной функции. В случаях, когда x0= 1,05 и x0= 1.10 существует значительная разница между результатом исходной функции и приближением Тейлора.
Но… разница очень мала, не правда ли?
Полиномиальное представление Тейлора
Если мы расширим крайние значения (где приближение удаляется от x0=1):
На первый взгляд это может показаться незначительным, но когда мы работаем над графиком и делаем приближения, очень важно учитывать как минимум первые четыре десятичных знака. Основа приближений - точность.