Термин выпуклая используется для описания поверхности, имеющей кривизну, при этом ее центр находится на стороне с наибольшим выступом.
Поэтому мы говорим, что внутренняя часть шара или батута (например, того, на котором играют дети) выпуклая. Это связано с тем, что его центральная часть имеет большую просадку.
Можно проанализировать, являются ли геометрические фигуры выпуклыми, например, в случае параболы, когда она имеет U-образную форму.
Обучающий трюк, позволяющий помнить о выпуклости, - это думать, что выпуклая кривая имеет форму смайлика.
Кроме того, хотя мы называем свойство выпуклости тем, что имеет кривую, оно также применимо к математическим функциям и многоугольникам, как мы увидим ниже.
Как узнать, является ли функция выпуклой?
Если вторая производная функции больше нуля в какой-то точке, тогда функция будет выпуклой в этой точке в ее графическом представлении.
Сказанное выше формально выражается следующим образом:
f »(x)> 0
Например, функция f (x) = x2 + x + 3. Его первая производная f '(x) = 2x +1, а вторая производная f »(x) = 2. Следовательно, функция f (x) = x2 + x + 3 является выпуклым для любого значения x, как мы видим на изображении ниже, которое является параболой:
Теперь представим эту другую функцию f (x) = - x3 + х2 + 3. Его первая производная f '(x) = -3x2 + 2x и ее вторая производная f »(x) = -6x + 2. После того, как мы вычислили вторую производную, мы должны проверить, для каких значений x функция f (x) = -x3 + х2 + 3 выпукло.
Итак, ставим вторую производную равной 0:
f »(x) = -6x + 2 = 0
6x = 2
х = 0,33
Следовательно, функция будет выпуклой, когда x меньше 0,33, поскольку вторая производная уравнения положительна. Мы можем проверить это, заменив разные значения x. Точно так же функция становится вогнутой, когда x больше 0,33, как мы можем видеть на графике ниже.
Выпуклый многоугольник
Выпуклый многоугольник - это такой многоугольник, где две точки, любая из фигур, могут быть соединены прямой линией, которая всегда будет оставаться внутри многоугольника. Кроме того, все внутренние углы меньше 180 °. Мы можем представить себе, например, квадрат или правильный восьмиугольник.
Напротив - вогнутый многоугольник. То есть та, в которой, по крайней мере, для соединения двух точек должна быть проведена линия, частично или полностью выходящая за пределы фигуры. Как видно из сравнения, предлагаемого ниже:
