Теорема Дармуа - это теорема, которая позволяет найти статистику T для параметра θ со свойством достаточного.
Проще говоря, это позволяет найти математическое выражение достаточной статистики, если таковое имеется.
Что касается критерия факторизации Фишера-Неймана, мы можем сделать соображение. Критерий факторинга Фишера-Неймана служит как для проверки того, удовлетворяет ли статистика свойству достаточности, так и для нахождения математического выражения достаточной статистики (если она существует). Напротив, теорема Дармуа позволяет найти только математическое выражение (если оно существует) достаточной статистики.
Предположим, что в то время как критерий факторизации Фишера-Неймана движется вперед (поиск) и назад (проверка), теорема Дармуа движется только вперед (поиск).
Формула теоремы Дармуа
Теоретически это выражается с учетом простой случайной выборки случайной величины X с функцией плотности f (x; θ) с θ ∈ Ω. Если эта функция принадлежит к экспоненциальному семейству, то есть ее можно выразить так:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Тогда статистика T = T (x1,…, xn) = Σ a (x)
Для облегчения расчетов обычно выполняется логарифмическая запись:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Конечно, сложно понять все эти математические обозначения. Появляется много неизвестных, много букв, много операторов. Давайте переопределим его с помощью разговорных слов. С этой целью мы начнем с теоретического определения, примененного к примеру:
Предположим, случайная выборка из 50 детей (простая случайная выборка), у которых мы спрашиваем, сколько денег они тратят в неделю на сладости (случайная величина X) с заданной функцией плотности (см. Функцию плотности). Итак, если эту функцию плотности мы можем выразить следующим образом:
Установим, что достаточной статистикой является сумма выражения a (x)
Части формулы определены следующим образом:
- lnβ (θ): это функция, которая зависит только от параметра (в нашем случае от среднего)
- lnb (x): это функция, которая зависит только от случайной величины X
- a (x): это функция, которая зависит только от X и умножает α (θ)
- α (θ): это функция, которая зависит только от параметра (в нашем случае от среднего)
Теорема Дармуа на практике
Хотя у всех нас есть возможности и инструменты для открытия новых статистических данных, это редко бывает нормой. Другими словами, профессора экономики и эксперты в этой области проводят исследования по этим темам.
В личном плане трудно найти кого-то, кто бы посвятил себя этому типу исследований. Таким образом, на практике важно понять, откуда взялась эта статистика, которую мы используем.
Например, чтобы кто-то обнаружил, что среднее значение является достаточной статистикой, они, вероятно, использовали этот процесс.